디지털 논리회로: 0과 1같은 이산적인(끊어진) 신호를 이용해 정보를 처리하는 전자 회로를 의미한다.
쉽게 말해, 입력과 출력이 디지털 신호로 들어오거나 나오게 되는데, 이때 중간에서 디지털 논리회로가 이를 처리를 해주는데, 이것은 0과 1로만 표현되는 하나의 반도체 회로로 볼 수 있음.
또한, 0과 1을 통해 논리회로로써 참(True)과 거짓(False)을 전기 신호로 표현해 논리 연산을 수행하는 구조임.
즉, 논리회로 자체는 AND, OR, NOT, ... 으로 실제로 물리적으로 구현이 되어있음을 알 수 있음.
(2) 기본 논리게이트 ( AND, OR, NOT )
AND 게이트: 디지털 신호(0,1)가 입력값 X, Y에 들어오게 될 때, (0,0)인 경우 0(False), (0,1) or (1,0)인 경우 0(False), (1,1)인 경우에만 1(True)로써, 논리곱(AND 연산)이라 불리며, p^q 또는 X · Y 로 표현이 됨.
논리곱인 이유는, 0 * 0 = 0; 0 * 1 = 0; 1 * 0 = 0; 1 * 1 = 1 과 같이 두 수를 곱했을 때 나오는 결과 중 1은 둘 다 True 인 경우이기 때문에 이러한 과정을 통해 논리곱으로 보는 이유를 알 수 있음.
OR 게이트: 논리합으로 불리며, 두 이진수를 더했을 때, 값이 0이면 False, 1이면 True 인 논리게이트임.
기호 표현: X + Y 또는 p ∨ q 로 표현이 됨.
NOT 게이트: 일항 연산에 쓰이며, 입력에 들어온 값을 반전시키는 논리게이트임.
이러한 기본 논리게이트를 활용해서 NAND, NOR, XOR, XNOR 을 구성 할 수 있으며, 기본 논리게이트(AND, OR, NOT)로 모든게 이루어져있다고 보면 됨.
(3) 기타 논리게이트 (NAND, NOR, XOR, XNOR)
NAND: AND 게이트에 NOT 을 붙힌 논리게이트로, AND의 결과에 NOT이 붙어 반전되어 출력이 되는 논리게이트임.
NOR: OR 게이트에 NOT 을 붙힌 논리게이트로, OR의 결과에 NOT이 붙어 반전되어 출력이 되는 논리게이트임.
XOR: 베타적 논리합으로, 두 개의 입력값이 서로 다를 때만 1(True)을 출력하고, 같은 경우에는 0(False)을 출력하는 게이트
XOR 게이트 기호: A ⊕ B 로 표현하며, 논리식은 위와같이 표현하기도 함.
AB = A * B = A and B 로 AND 연산이며, 해당 연산 두개에 대해서 각각 A, B에 NOT을 붙혀주고 최종적으로 OR 연산 진행
XNOR 게이트: XOR 게이트의 최종적으로 NOT이 붙은 게이트이며, XOR 게이트의 결과값의 NOT이 되는 원리임.
✅ 2. 부울대수
(1) 부울대수 소개
부울대수: 수학의 한 분야로써, 컴퓨터의 논리 연산의 기초가 되는 체계로 0(False), 1(True)만으로 표현하는 수학을 의미함.
쉽게 말해, 일반적인 수학에서는 1,2,3, ... 같은 무한한 숫자를 다루지만, 부울 대수에서는 0과 1만을 가지는 부울값을 통해서 정해진 부울연산과 합쳐 부울식으로써 부울 대수를 정의하고 있음.
부울값(부울상수): 0 = 거짓(False), 1 = 참(True) 와 같이 두 값이 부울값임.
부울변수: A, B, X 와 같이 0 또는 1 값을 가질 수 있는 변수를 의미함.
부울연산: AND, OR, NOT, ... 등의 부울값끼리 계산하는 연산을 의미함.
부울식: 부울값과 부울연산을 이용해서 만든 식으로 예를 들면, A AND B, (A OR B) AND NOT C ... 등이 있음.
이런것들을 포함하고 있는 수학 체계가 부울 대수인 것임.
부울식: 부울상수 0,1 은 부울식으로 보며, 부울변수 또한 부울식으로 보며, X,Y가 부울식일 때, 합쳐진 부울 연산을 부울식으로 보는 것임. 즉, 아주 작은 단위도 이미 부울식으로 본다는 의미임.
(2) 부울대수의 성질
X + 0 = X 에서 + 는 OR(논리합)을 의미 할 수 있음.
X * 1 = X 에서 * 는 AND(논리곱)을 의미 할 수 있음.
위와 같이 여러 법칙이 존재함.
(15) 번과 같은 것은 일반적인 실수 법칙에서는 성립하지 않고, 부울 대수에서만 성립이 되는 법칙임. ( 18번, 19번도 일듯 )
왼쪽은 논리이며, 오른쪽은 부울대수 표기법이며, 둘의 관련성을 나타냄.
논리상에서 p, q, r 은 명제를 의미하지만, 부울대수에선 X, Y, Z 로 부울 변수로 보고 있음.
논리상에서 T, F 는 명제에 대한 참, 거짓을 의미하지만 부울대수에선 1, 0 으로 표현함.
그 외에도 동일함.
논리 및 집합에서의 기본정리이며, 부울대수 법칙에 적용이 될 수 있음.
(3) 쌍대성 원리
쌍대성 원리: 부울식에서 논리곱, 논리합인 상태를 서로 바꾸고, 논리상수 0과 1을 서로 바꾸면 원래 부울식의 동일한 결과를 얻을 수 있는데, 이것을 쌍대라고 함. ( 쌍대: 주어진 부울식과 그것의 진리값이 서로 같음을 의미함. )
쉽게 말해, 어떤 부울식이나 부울 법칙에서 논리합, 논리곱 서로 바꾸고, 0과 1을 서로 바꾸었을 때, 새로 얻어진 식도 역시 참이 된다는 원리를 의미할 수 있음.
쌍대성 원리 예제: 위와 같이 X + 0 = X 의 경우 논리합(+) 와 0을 각각 논리곱(*) 과 1로 바꾸게 된다면 X * 1 = X 가 됨.
드 모르간 법칙: 전체를 부정하면, 연산이 반대로 바뀐다는 의미를 가지는 법칙으로, 쉽게 말해 OR 연산을 부정하면 AND 로 바뀌고 AND를 부정하면 OR로 바뀌는 것을 의미함.
정리하면 드 모르간 법칙은 보수를 구하기 위한 법칙으로 볼 수 있는 것임.
(4) 부울함수의 보수
보수: 결과를 반대로 뒤집는 것으로, 0인 경우에는 1로, 1인 경우에는 0으로 뒤집는 것을 의미함.
부울함수의 보수: 부울함수에서의 결과를 뒤집는 것을 의미하며, NOT 논리게이트가 붙어있다고 생각하면 됨.
부울함수의 보수 예제1: 드 모르간 법칙을 활용해서 예제를 풀고 있으며, 전체에 부정을 취하게 되면 법칙에 따라 논리합이 논리곱으로 바뀌게 되고, 각 부울변수에서 AND로 연결된 식 전체를 부정하면, 각각을 부정하고 더하기(OR)로 바꾼 것과 동일하기 때문에 X'' + Y' + Z" * X'' + Y'' + Z' 이 만들어지게 되며, 여기서 이중 부정의 법칙으로 부정을 두 번 하면 원래 자기 자신이 되기 때문에 최종적으로 (X + Y' + Z)(X + Y + Z') 가 되는 것임.
부울함수의 보수 예제2: 쌍대를 활용해서 예제를 풀고 있으며, 각 문자를 보수(반전)로 바꾸면 위와같은 결과를 얻을 수 있음.
✅ 3. 부울함수의 대수적 간소화
(1) 간소화 목적
간소화 목적: 위의 논리회로 두개는 동일한 기능을 하는 논리회로이며, 한 눈에 보기 편한 오른쪽의 회로가 좋음을 알 수 있음.
처리속도도 빨라지며, 고장도 덜나고, 비용이 절감되는 장점을 가지기 때문에 간소화를 반드시 하는게 좋음.
부울함수와 논리회로는 1:1 대응 관계이며, 진리표, 부울함수, 논리회로에 대한 상관관계를 나타내고 있음.
복잡한 논리회로는 복잡한 부울함수로 인해서 나오게 된것이며, 간소화를 시켜 간단한 부울함수를 통해 논리회로를 얻음.
(2) 간소화 예
항결합: 두 개의 항을 결합하여 하나의 항으로 만드는 방법을 의미함.
문자 소거: 중복된 문자를 제거하는 방법으로 흡수법칙을 이용한 방법임.
중복항 첨가: 부울함수의 진리값이 변하지 않도록 하면서 간소화를 위한 적절한 항을 첨가하는 방법을 의미함.
위와 같이 복잡한 부울함수가 있을 때, 대수적인 방법으로 풀게되면, 결과적으로 X만 남게 됨.
