bin's Development Diary

[이산수학] 11강 - 트리

junbin2 — Thu, 28 May 2026 17:12:50 +0900

✅ 1. 기본사항

(1) 트리의 정의

트리의 종류: 트리를 기반으로 하는 여러가지 규칙이 추가된 다양한 트리가 존재함.

트리: 사이클이 없는 단순 연결 그래프를 트리(Tree) 라고 함.
단순 연결 그래프: 단순 그래프(루프, 병렬변이 존재하지 않는 그래프) + 연결 그래프(오직 하나의 연결 성분만 가지는 그래프) 를 합친 그래프를 단순 연결 그래프로 볼 수 있음.
즉, 단순 연결 그래프 + 사이클이 없으면 트리라고 볼 수 있음.
또한, Trivial tree(꼭지점 하나만 존재하는 트리), Empty tree(꼭지점 하나도 없는 비어있는 트리), Forest(한 개 이상의 트리로 구성된 그래프) 와 같은 것도 트리로 정의를 함.
TIP: Forest 는 트리들이 여러개 존재하는 그래프를 의미할 수 있음.

트리 예제: 위의 4번째 빼고는 모두 트리이며, 이유는 4번째의 경우 사이클이 존재하기 때문에 트리가 아님.

루트 트리: 루트(v1)라 부르는 노드는 1개가 반드시 존재해야 하며, 나머지 노드들은 분리된 집합인 서브트리로 나뉨.
쉽게 말해, 루트 트리의 루트 노드 자식 노드는 해당 자식 노드의 또 다른 자식 노드의 루트로도 볼 수 있기 때문에 분리 된 집합에 대해서는 서브트리로 볼 수 있다는 의미임.
트리의 한 종류로 가장 일반적인 트리이며, 트리라는 개념에 규칙성을 더한 또 파생된 트리로 볼 수 있음.

루트 트리의 경우 위와 같은 형태를 띄고 있으며, A 의 서브 트리는 B집합, C집합, D집합으로 3개의 서브트리를 가지고 있음.

(2) 주요 용어

트리의 차수: 트리에서 차수는 그래프와 다르게 자식 노드와 연결된 차수 즉, 자식 노드의 개수만을 따짐.
트리의 전체 차수: 루트 노드부터 시작해서 모든 자식 노드의 차수의 전체를 구하는 것임.
리프 노드(단말 노드): 트리의 제일 하단에 있는 자식 노드가 없는 노드를 의미함.
내부 노드: 루트 노드 및 리프 노드를 제외한 나머지 노드를 내부 노드라고 부름.
레벨: 특정 노드의 레벨은 루트 노드에서부터 몇 번 만에 가느냐를 따지는 것임. 즉, G의 레벨은 A - B - G 이기 때문에 2임.
트리의 높이: 트리의 높이는 트리 전체의 높이를 의미하기 때문에 위의 예시의 트리의 높이는 3이 될 수 있음. 또한, 리프 노드의 레벨과 트리의 높이는 항상 같지만, 레벨은 특정 노드의 레벨을 볼 수 있기 때문에 높이와는 다른 개념으로 볼 수 있음.
트리의 무게: 리프 노드들의 개수를 의미함. 즉, 위의 예시의 경우 E,F,G,C,I,J,K 로 총 7이 트리의 무게가 됨.

(3) 트리의 표현

중첩된 집합: 트리를 표현 할 때, 위와 같이 집합을 중첩된 형태로 표현을 하기도 함.

중첩된 괄호: 괄호를 중첩해서 트리의 노드 관계를 표현하는 것임.

결각: 단순히 들여쓰기로 레벨을 표현해서 트리를 표현하는 것임.

닮은 트리: 트리의 구조는 동일하지만 노드의 데이터 내용이 서로 다를 때 이들 트리는 닮은 트리라함.

(4) 주요 정리

정리: n개의 꼭지점을 가지는 연결 그래프(연결성분이 한개인 그래프)가 n-1 개의 변을 가지면 해당 그래프는 트리라고함.
쉽게 말해, 연결 그래프가 n-1 개의 변을 가지면 사이클이 절대 만들어질 수 없기 때문에 이는 곧 트리가 되는 것임.
결론: 즉, n개의 꼭지점을 가지는 트리는 n-1 개의 변(간선)을 가질 수 있다는 의미로 귀결될 수 있음.

✅ 2. 이진 트리

(1) 이진 트리란?

이진 트리: 모든 노드가 0개~최대 2개의 서브 트리를 갖는 루트 트리를 의미함.
루트 트리와의 차이점: 루트 트리는 루트 노드가 반드시 하나 존재해야 하기 때문에 공집합일 수 없지만, 이진 트리는 공집합 일 수 있으며, 또한 루트 트리와 다르게 왼쪽과 오른쪽을 구분하는데, 이는 루트 트리의 경우 방향이 없기 때문에 단순히 아래의 자식 노드들이 들어가 있는 느낌이지만, 이진 트리의 경우 왼쪽과 오른쪽 방향을 구분함으로써 의미를 부여해놓는 것임.

이진 트리에서는 왼쪽 자식 노드 또는 오른쪽 자식 노드에 있는 트리들은 전혀 다른 것으로 간주함.
방향성이 존재하기 때문에 위의 예시에선 가운데의 개념은 허용하지 않음.

이진 트리의 최대 노드 수: 이진 트리 T의 높이가 h개일 때, T의 최대 노드 수는 1 + 2 + 4 + 8 + ... 2의 승으로 올라가기 때문에 그 값들을 모두 더하면 구할 수 있음.

(2) 완전 이진 트리

완전 이진 트리: 트리에서 레벨 0부터 트리의 리프 노드까지 왼쪽 노드부터 차례로 모두 채워진 이진 트리를 의미함.

정리1: 완전 이진 트리는 최대로 왼쪽부터 채우기 때문에 같은 노드 수를 갖는 트리가 존재한다면 해당 완전 이진 트리는 제일 최소의 높이를 가지는 트리가 될 수 있음.
정리2: n개의 노드를 갖는 이진 트리의 최소 높이 또한 위와 같이 구할 수 있음.
쉽게 말해, n = 7 이면 1, 2, 4, 8 ... 로 갈 때, 1 + 2 + 4 = 7 이기 때문에 높이는 2가 되는 것임.

이진 트리의 높이: n = 14 일 경우 1,2,4,8,16,... 으로 늘어나는 과정에서 각 높이는 0,1,2,3.. 으로 정해지기 때문에 1 + 2 + 4 + 8 = 15 이며, n(14) 는 15안에 포함이 되기 떄문에 높이는 3이 되는 것임.

(3) 포화 이진 트리

포화 이진 트리: 이진 트리 구조에서 모든 노드가 채워진 이진 트리를 의미함.
즉, 노드의 개수가 당연히 항상 1,2,4,8,16... 으로 될 수 밖에 없음.

(4) 이진 트리 종합 예제

(1) 1,2,4,8,16 까지가 높이 = 4 이기 때문에 모두 더한 값인 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 이 최대 노드수가 됨.
(2) 1,2,4,8,16,32 까지 높이 = 5 이며, 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63 이기 때문에 60개의 노드로는 완전 이진 트리 정도만 만들 수 있으며, 포화 이진 트리는 60과 63이 다르기 때문에 존재하지 않음.
(3) 8개의 노드는 1 + 2 + 4 + 8 = 15(높이3)에 속하기 때문에 최소한의 높이는 3으로 볼 수 있음.
(4) 1 + 2 + 4 = 8, 6개의 노드는 포함이 가능하며, 이진 트리 또는 완전 이진 트리는 가능함. ( 포화는 불가능 )

✅ 3. 이진 탐색 트리

(1) 이진 탐색 트리 - 정의

이진 탐색 트리: 이진 트리에 탐색을 위한 규칙을 추가한 트리로 볼 수 있음.
자세한 규칙은 이진 트리에서 모든 노드들은 탐색을 위한 키값을 가지고 있어야 하며, 모든 부모 노드의 왼쪽 자식은 부모 노드보다 키 값이 작아야 하며, 오른쪽 자식 노드는 부모 노드보다 키 값이 커야하는 특징이 있음.
즉, 임의의 노드 왼쪽 서브트리의 키값들은 임의의 노드 보다 작아야 하며, 오른쪽 서브트리는 임의의 노드 보다 커야함.

(2) 이진 탐색 트리 구성 - 예제

Key 값이 7, 3, 9, 6, 2, 4, 8, 1, 5 순으로 들어온다면, 이진 탐색 트리에선 먼저 7이 루트에 들어가게 되며, 3은 7보다 작기 때문에 왼쪽 서브트리로 들어가고, 9는 7보다 크기 때문에 오른쪽 서브트리로 들어가며, 이런식으로 반복해서 들어가게 됨.
또한, Key 값이 1,2,...9 순으로 들어오게 된다면, 모두 오른쪽 서브트리로 들어가는 경사 이진 탐색 트리가 만들어 질 수 있음.

Key 값 A, B, C, D가 존재하며, 들어오는 순서에 따라서 위와같이 이진 탐색 트리의 구성은 달라질 수 있음.

(3) 이진 탐색 트리 검색

이진 탐색 트리 검색(알고리즘): 주어진 키값(찾을 값)을 통해서 루트 노드에서 비교를 하며 내려가는데, 키값과 비교할 노드의 값의 대소를 비교 한 뒤, 비교 노드보다 작다면 왼쪽, 크다면 오른쪽으로 가는 원리로 이진 탐색 트리에서 값을 찾을 수 있음.

주어진 키값(찾을 키값)이 9인 경우, 루트 노드와 비교 후 10보다 작기 때문에 왼쪽 서브트리로 내려가고, 8보단 크기 때문에 오른쪽 서브트리로 내려간 뒤, 12보단 작기 때문에 왼쪽 서브트리로 내려갔는데 9와 동일한 값이 존재하므로 알고리즘 종료됨.

(4) 이진 탐색 트리 검색 - 효율적인 이진 탐색 트리

효율적인 이진 탐색 트리의 경우 비교횟수가 가장 적은것이 곧 효율적인 이진 탐색 트리가 될 수 있음.
위의 예시의 경우 경사 이진 트리보단, 균형잡힌 이진 트리가 효율적인 이진 탐색 트리로 볼 수 있는데, 이말은 즉슨 루트의 높이가 낮은 트리의 경우가 결국 효율적인 탐색 트리로 볼 수 있음.

비교 횟수 기대값: 가장 많이 나올 확률이 높은 데이터가 A, 가장 적게 나올 확률이 높은 데이터가 D일 경우에는 경사 이진 탐색 트리의 경우가 효율적일 수 있음.

허프만 코딩: 데이터 압축 알고리즘 중 하나로써, 내부적으로 이진 트리를 사용하며, 대표적인 이진 트리의 활용 사례임.

✅ 4. 트리의 활용

(1) 최소 신장 트리(MST)

신장 트리: 그래프 G의 모든 꼭지점을 연결하는 사이클이 존재하지 않는 G의 부분 그래프로 볼 수 있음.
쉽게 말해, 그래프 내의 모든 정점의 꼭지점이 연결이 되어있으며, 사이클이 존재하지 않는 부분적인 그래프를 신장 트리로 봄.

신장 트리 예제: 위와같이 A,B,C,D의 정점을 가지는 그래프가 존재할 때, 아래와 같이 모든 정점이 연결은 되어있으면서 간선 하나를 뺌으로써 사이클이 존재하지 않도록하는 부분 그래프를 신장 트리라함.

최소 신장 트리: 그래프 G의 모든 변의 가중치의 합이 가장 작은 부분 그래프를 최소 신장 트리라 함.

최소 신장 트리 사용처: 대부분 컴퓨터 네트워크 또는 교통망 같은데에서 사용이 됨.
네트워크나 교통망을 구축할 때 가장 중요한 요소는 거리에따른 예산(비용)이기 때문에, 최소 비용으로 모든 지점을 연결하기 위해서 최소 신장 트리를 활용하는 것임.

그래프에서 신장 트리의 수는 꼭지점(정점)의 개수가 커짐에 따라 기하급수적으로 증가함.
이러한 그래프 하나 안에서 발생하는 여러 신장 트리 중 가중치가 가장 작은 신장 트리를 구하는 것은 쉽지 않기 때문에, 신장 트리를 구하기 위한 알고리즘이 여러개 나오게 됨.

(2) 최소 신장 트리(MST) - Kruskal 알고리즘

Kruskal 알고리즘: 그래프의 모든 변의 가중치값을 오름차순으로 정렬을 시키며, 가장 작은 가중치의 변부터 차례대로 트리에 추가하는 방식이며, 사이클이 발생하면 추가하지 않고, 모든 꼭지점이 연결될 때까지 반복하는 알고리즘임.

반복 된 결과로는 위와 같은 결과를 얻을 수 있음.

(3) 최소 신장 트리(MST) - Prim 알고리즘

Prim 알고리즘: 크루스칼 알고리즘은 모든 변을 빼서 오름차순으로 정렬 한 뒤, 트리를 구성하는 방식이었다면, Prim 알고리즘은 이와 다르게 임의의 꼭지점 하나를 기반으로 인접한 정점 중 가중치가 가장 작은 정점을 연결 하는데, 이때 사이클이 발생하지 않아야 하는 조건에 부합해야 연결이 되는 방식이며, 이것이 반복적으로 이뤄지면서 MST를 구하는 방식임.

Prim 알고리즘 예제: 위와 같이 시작 정점이 G라면, G의 인접한 정점 중 가중치가 가장 작은 3을 통해 F부터 시작함.
(1) G의 인접한 정점 중 가중치가 가장 작은 F를 방문 노드로 만듬.
(2) G, F 인접한 정점 중 가중치가 가장 작으면서, 방문하지 않은 노드인 E 방문
(3) G, F, E 인접한 정점 중 가중치가 가장 작으면서, 방문하지 않은 노드인 B 방문
(4) G, F, E, B 인접한 정점 중 가중치가 가장 작으면서, 방문하지 않은 노드인 A 방문
(5) G, F, E, B 인접한 정점 중 가중치가 가장 작으면서, 방문하지 않으 노드인 D 방문
이후에도 사이클이 발생하지 않아야 한다는 규칙을 지키면서 반복적으로 방문을 하는 것임.

[이산수학] 10강 - 그래프(2)

junbin2 — Wed, 27 May 2026 00:28:35 +0900

✅ 1. 그래프의 탐색

(1) 평면 그래프

평면 그래프: 그래프의 모든 변(간선)이 서로 교차하지 않게 그릴 수 있는 그래프를 평면 그래프라고 함.

평면 그래프가 아닌 예시: 완전 그래프, 완전이분그래프 등은 변(간선)이 교차하는 그래프이기 때문에 평면 그래프가 아님.

평면 그래프의 예시(1): 3-정규그래프는 평면 그래프로 변(간선)이 교차하지 않음. 또한, K4(완전그래프)와 동일한 완전 그래프로도 볼 수 있기 때문에 K4 또한 평면 그래프로 볼 수 있음.
K4(완전그래프) 평면 그래프인 이유: 교차된 한 변(간선)을 밖으로 돌아가서 연결되도록 하면 평면 그래프이기 때문임.

평면 그래프의 예시(2): K5(완전그래프) 에서 한 변(간선)을 제거한 그래프는 위와같이 평면 그래프로 만들 수 있음.

(2) 오일러의 공식

오일러 공식을 이해하기 위한 면(Face) 정의: 연결된 평면 그래프에서 변(간선)에서 만들어지는 사이클을 경계로 형성된 공간을 의미하며, 쉽게 말해 위의 f1, f2, f3, f4 의 사이클 공간 자체가 하나의 면이 되는 것임.

오일러의 공식: 꼭지점의 수(v), 변의 수(e), 면의 수(f) 에 대한 공식 v - e + f = 2 가 항상 나오며, 이게 오일러 공식임.

(3) 4색 정리

4색 정리: 평면에 그려진 어떤 지도라도, 국경을 맞댄 이웃 나라끼리 서로 다른 색을 칠할 때 딱 4가지 색만 있으면 모든 나라를 구별해서 칠할 수 있는 정리를 의미한다.

4색 정리 - 평면 그래프 관점: 4색 정리의 또 다르게 정의를 내리면, 평면 그래프가 주어졌을 때, 각 꼭지점에 대하여 인접한 꼭지점과 서로 다른 색으로 칠하는데 필요한 색은 4가지면 충분하다로 정의를 내릴 수도 있음.

(4) 오일러 투어

오일러 트레일: 트레일 자체의 개념은 정점의 중복은 허용이지만, 변(선)에 대한 중복은 허용을 하지 않는다는 개념이며, 반드시 모든 변을 지나갈 필요는 없는 상위적 개념이지만, 오일러 트레일은 모든 변을 반드시 한 번씩만 지나가야 하는 개념임. 즉, 오일러 트레일과 트레일의 차이점으로 볼 수 있음. ( 정점의 중복 허용임 )
오일러 투어: 그래프에 있는 모든 변(선)을 단 한번씩만 거쳐서, 처음 출발했던 꼭지점으로 다시 돌아로는 경로를 의미함.
즉, 시작점과 종점이 같은 오일러 트레일이기 때문에, 닫힌 오일러 트레일로도 볼 수 있음.
정리: "모든 변(간선)을 단 한 번씩만 지나야 한다"는 조건은 오일러 투어에 적용되는 절대적인 규칙인 것임.

(5) 오일러 그래프 정리

오일러 그래프: 오일러 투어를 가지는 그래프를 오일러 그래프라고 부름.
오일러 그래프 정리: 연결 그래프가 오일러 투어를 가지기 위한 필요충분 조건은 그래프의 모든 꼭지점의 차수는 짝수다.
즉, 오일러 투어를 가지기 위해서는 연결 그래프(연결 성분이 하나인 그래프)에서 모든 꼭지점의 차수는 짝수여야 함.

(1) 연결 그래프가 오일러 투어를 가지면 모든 꼭지점의 차수는 짝수 증명: 들어가는 간선이 존재한다면, 나가는 간선이 존재해야 하며, 그 이유는 중복된 간선의 사용은 허용하지 않는 트레일 구조이기 때문임.

(2) 연결 그래프 G의 모든 꼭지점의 차수는 짝수이면 G는 오일러 그래프 증명: (1) 번의 내용을 토대로 결론을 내리면 모든 꼭지점의 차수가 짝수면, 오일러 투어의 규칙인 간선의 중복 미허용과 모든 간선의 방문을 통해서 나가는 길과 들어오는 길을 따로 만드는 짝수로 해당 명제는 참임을 증명함.
결과적으로 오일러 투어를 가지는 해당 그래프 G는 오일러 그래프로 볼 수 있음.

오일러 그래프 알고리즘 단계별 정리:
1단계: G의 임의의 꼭지점 v를 고르기.
2단계: v에서 시작하고 v에서 끝나는 임의의 작은 사이클 C를 선택
3단계: 임의의 작은 사이클 C가 오일러 투어이면 즉, 모든 간선을 방문하고, 출발점으로 돌아온 상태이냐를 보고 맞으면 증명을 끝내고 만약 아니라면 아래 과정을 반복
3-1단계: 임의의 작은 사이클 C의 해당하는 모든 변을 제거한 나머지를 가지는 새로운 G' 그래프를 만듦
3-2단계: 버려진 C와 G' 가 공유하는 꼭지점 중 하나를 고르고 w로 정의를 함.
3-3단계: w에서 시작하고 w에서 끝나는 임의의 사이클 C'을 선택
3-4단계: 기존의 C와 새로 선택된 C'을 합쳐서 새로운 C를 만들고, 3단계로 돌아가서 증명이 참인지에 대한 검증을 반복함.
즉, 작은 임의의 면(사이클을 가지는 변들)을 만들고, 오일러 투어인지 보고, 아닐 경우 해당 면의 인접한 꼭지점 아무거나 잡아서 임의의 면 또 만들면서 반복하는 느낌임.

오일러 투어 찾기 예제: a, b, c, d 하나의 면을 v로 두고, 오일러 투어의 조건을 만족하는지 보면 e, f, h, g 가 있어서 조건을 만족하지 못하기 때문에 e, f, h, g 를 w로 두고, w와 v를 합치면 오일러 투어를 만족함.

(3) 해밀턴 경로

해밀턴 경로: 그래프의 모든 꼭지점들을 한 번씩만 지나는 경로를 의미한다.
해밀턴 사이클: 닫힌 해밀턴 경로를 의미하며, 시작점과 종점이 같은 해밀턴 경로이다.
정리하면, 그래프의 모든 꼭지점들을 한 번씩만 모두 지나는 경로만 존재하면 해밀턴 경로이며, 만약 시작점과 종점이 같은 해밀턴 경로라면 이것은 해밀턴 사이클로 부름.

해밀턴 경로 예제: 위의 왼쪽의 그래프 탐색이 해밀턴 경로이며, 모든 정점을 방문을 모습임.
해밀턴 사이클 예제: 오른쪽 그래프 탐색이 해밀턴 사이클이며, 모든 정점을 방문한 뒤 시작점으로 돌아온 모습임.

해밀턴 경로 및 사이클 예제: Herschel Graph 는 해밀턴 경로는 존재하나, 해밀턴 사이클(출발점으로 돌아오는 경로)는 존재하지 않는 특징이 있음.
12면체 그래프는 해밀턴 경로도 되고, 해밀턴 사이클도 가능함.

✅ 2. 그래프의 활용

(1) 가중 그래프

가중 그래프: 그래프의 각 변(간선)에 실수값이 붙여진 그래프를 의미하며, 변에 부여된 값은 가중치 라고 함.

위와 같이 꼭지점(정점)을 연결하는 변(간선)에 가중치의 값이 부여된 그래프(가중 그래프)로 볼 수 있음.

가중 그래프의 쓰임새: 최단경로 문제 또는 최소 신장 트리 문제에 가중 그래프의 가중치를 기반해서 쓰임.
최단경로 문제: 출발지와 도착지가 주어지고, 그 경로상에서 가장 빠른 경로를 찾는 문제임.

최소 신장 트리 문제: 그래프 G 안에서 총 가중치가 가장 작은 사이클이 없는 연결 그래프인 신장 트리를 구하는 문제임.

(2) 최단경로 문제 - 다익스트라 알고리즘

다익스트라 알고리즘: 해당 알고리즘은 최단 경로 문제를 구하기 위한 대표적인 알고리즘임. ( 그 외에도 여러개 있음. )
과정1: 각 정점에 도달하는 임의의 최단거리 배열을 만들어두고, 배열의 각 원소들을 무한으로 초기화
과정2: 만약 시작 정점을 a로 잡는다면, 해당 시작점의 최단거리 배열의 원소는 0으로 초기화. ( 즉, a = 0 )
과정3: a의 인접한 정점 b, e 를 보고 최단거리 배열의 b, e에 해당하는 배열의 원소를 각 2와 4로 초기화
과정4: a의 인접한 정점 중 가장 짧은 거리는 a - b(가중치:2) 이기 때문에, b의 인접한 정점(a,c,d,e,f)의 값을 가중치의 값에 맞게 최단거리 배열의 값을 초기화
과정5: b의 인접한 정점 중 가장 짧은 거리는 b-c(가중치:1) 이기 때문에, c의 인접한 정점은 c-d(가중치:3) 밖에 없으므로, 최단거리 배열 d의 값을 초기화를 시키는데, 이때 d는 과정4에서 이미 5로 초기화가 되어있는데 상태인데, 5보다 4가 작기 때문에 4로 초기화를 진행함.
최종 과정: 해당 과정에서 인접한 정점 중 가중치가 가장 짧은 정점을 선택하는 과정에선 선택된 정점들의 집합 배열을 만들어 따로 저장을 하게 되는데, 이때 해당 선택 배열에 저장 된 정점들의 개수와 그래프의 정점의 개수가 동일해질때 모든 정점들을 다 거쳐서 최단 경로를 구했다고 판단해 반복이 종료됨.

[이산수학] 9강 - 그래프(1)

junbin2 — Thu, 21 May 2026 21:17:34 +0900

✅ 1. 기본사항

(1) 그래프 소개

1737년 쾨니히스베르크 도시에 다리 건너기 문제를 당시 천재 수학자 오일러가 풀려고 접근함.
이때, 오일러가 해당 문제를 풀 때, 본질만 남기고 다 지우는 추상적인 방법을 사용하는데, 결과로 나온 것이 그래프임.
해당 그래프를 활용해서 문제를 보니, 답이 없는 문제임을 알아낼 수 있었음.

(2) 주요 용어

그래프 G = (V, E) 들로 구성이 되어있으며, V = 정점들의 집합, E = 간선들의 집합임.
인접: 연결된 두 꼭지점은 서로 인접한다고 함.
병렬 변: 두 꼭지점을 연결하는 변이 여러개 있는 경우를 의미함. ( ex: v1, v2 를 잇는 간선이 e1 뿐 아니라 e3.. 등 있을 때 )
루프: 동일한 꼭지점을 연결하는 변을 의미하며, 꼭지점 v1에 동그랗게 다시 자신을 가리키는 간선을 의미함.
고립된 꼭지점: 어떠한 변도 연결되지 않은 꼭지점을 의미하며, 쉽게 말해 간선이 존재하지 않은 꼭지점을 의미함.

그래프 예제1: (1) v1과 인접한 꼭지점은 루프가 있으므로, v1 과 v2 둘 다 인접함. (2) 루프를 가지는 꼭지점은 v1 임. (3) 병렬 변은 여러개 간선을 가지는 꼭지점간의 간선이므로, e2, e3 임. (4) 고립된 꼭지점은 v4 임.

그래프 예제2: 정점간의 간선 연결이 동일할 때, 동일하기 때문에 4번째 그래프가 동일하지 않은 그래프임.
동형 그래프: v1, v2, e1, e2, .. 와 같이 그래프의 꼭지점 및 변의 이름을 제거하고 모양만 봤을 때 동일한 것들은 동형이라함.

(3) 주요 용어 - 방향 그래프, 무향 그래프

방향 그래프: 변(간선)이 방향을 가지고 있는 그래프를 의미함.
무향 그래프: 무방향 그래프로도 불리며, 변(간선)이 방향을 가지고 있지 않은 그래프를 의미함.

(4) 주요 용어 - 단순 그래프, 부분 그래프, 신장 부분 그래프

단순 그래프: 루프와 병렬 변을 가지지 않는 무향 그래프를 의미함. ( 루프, 병렬 변 없는 무방향 그래프 )
단순 그래프의 반대는 다중 그래프로 볼 수 있음.

부분 그래프: 원래 그래프 G에서 점도 몇 개 내 맘대로 고르고, 선도 몇 개 내 맘대로 골라서 대충 원본의 일부만 떼어내 만든 그래프를 의미하며, 수학에서 말하는 '부분집합'과 같은 개념임.
당연히 없는 점이나 없는 선을 새로 만들어낼 수는 없으며, 선을 고를 때는 그 선에 연결된 점도 함께 골라야 그래프가 성립됨.
신장 부분 그래프: 원본 그래프의 모든 점을 이용한 부분 그래프를 신장 부분 그래프라고함.

부분 그래프 예시: 그래프 G에서 e1을 포함한 모든 부분 그래프는 위와같이 5가지가 나올 수 있음.

(5) 주요 용어 - 그래프 차수

차수: 꼭지점(정점)의 인접한 변(간선)의 개수를 의미함. ( ex: v1의 차수는 변의 개수가 2개이므로, 차수는 2임. )
총 차수: 그래프 G에 속한 모든 꼭지점(정점)의 차수의 합을 의미함.
진입차수: 꼭지점(정점) v 로 들어오는 변(간선)의 수를 의미함.
진출차수: 꼭지점(정점) v 에서 나가는 변(간선)의 수를 의미함.

그래프 차수 예시: 각 정점 a,b,c,d 의 총 차수는 각 3,4,3,3 이 되며, 마지막 그래프 G의 총 차수는 14가 됨.

악수 정리: 홀수 번 악수한 사람들의 전체 악수 횟수의 총합은 항상 주고 받고니까, 2배가 되므로 짝수가 될 수 있는데, 이때 홀수 번 악수한 짝수 명 있어야만 해당 정리가 성립이 되는 것임.
쉽게 말해, 차수가 홀수인 정점들의 개수는 항상 짝수개가 된다는 작은 정리를 의미하는 것임.

진입차수 예제: v1의 경우 v1(루프), v2, v3(2개) 이므로, 총 4개가 될 수 있으며, 그 나머지도 비슷한 원리로 구할 수 있음.
진출차수 예제: 진입차수의 반대로 나가는 선의 개수로 보면 됨.

(6) 그래프 탐색

그래프 탐색: 꼭지점 v0 에서 시작해 vk 에 도착하는 꼭지점과 변들을 순서대로 나열한 것을 의미함.
위와 같이, 정점에서 화살표로 가는 것 또는 간선만을 구성해서 표현을 할 수 있음.
v0 이 vk 로 출발 지점에서 출발해 제자리로 돌아왔다는 의미로, 닫힌 워크라고 부름.

(7) 그래프 탐색 - 워크, 트레일, 경로 개념

워크(Walk): 워크 자체는 아무 제약없이, 단순히 정점과 변을 번갈아가며 이동하는 느낌으로, 갔던 길을 또 가도 되고 방문했던 정점을 또 방문해도 됨. ( 제약이 없음. )
트레일(Trail): 변(간선) 중복 금지를 의미하며, 워크 중에서 한 번 지나간 간선(변)은 다시 지나가지 않는 규칙을 추가한 것이지만, 정점은 다시 방문해도 됨.
경로(Path): 정점 중복 금지를 의미하며, 트레일 중에서 한 번 밟은 땅(정점)은 절대 다시 밟지 않는다는 규칙을 추가한 것이며, 정점을 중복해서 밟지 않기 때문에 간선(변) 또한 중복될 일이 없음. ( 매우 엄격하다고 보면 됨. )
즉, 집합 관점으로 보면, 규칙이 까다로울수록 조건을 만족하는 대상이 적어지기 때문에 walk 안에 trail 이 있고, trail 안에 path가 있는 집합으로 볼 수 있음.

워크 예시: 위와 같이 v1 에서 v4 까지의 워크는 e1,e2,e2,e3,e4 로 갈수가 있음.
트레일 예시: 위와 같이 v1 에서 v4 까지의 트레일은 e1,e2,e3,e4 로 갈수가 있음. ( 간선의 중복 허용 x )
경로 예시: v1 에서 v4 까지의 경로는 e1,e3,e4 로 갈수가 있음. ( 정정의 중복 허용 x => 자연스럽게 간선도 중복 x )
경로에서 e2 를 방문하지 않는 이유: e1 에선 v1 -> v2 형태로 정점을 방문 할텐데, e2 간선을 거치게 되면 v2 를 한 번더 거치는 중복이 발생하기 때문임.

닫힌 트레일: W(워크)가 트레일 이면서, 출발 정점으로 다시 돌아온 경우임.
닫힌 경로: W(워크)가 트레일 이면서, 경로인 경우와 출발 정점으로 다시 돌아온 경우를 의미함.

v1 에서 v1 까지의 시작 정점과 끝 정점이 같은 경우를 닫혀있다고 보고 있음.
이 경우에서 워크, 트레일, 경로 조건에 따라서 갈리는 것임. ( 참고: 닫힌 경로는 사이클로도 볼 수 있음. )

(8) 그래프 탐색 - 연결, 연결 성분, 연결 그래프

연결: 그래프 상에서 u 에서 v 로 가는 경로가 존재하면 해당 u 와 v 는 연결되어 있다고 함.

연결성분: 그래프 내에서 V(정점)들은 서로 연결되고 다른 집합과 겹치지 않는 꼭지점들의 집합 V1, v2, ... , Vn 으로 나눌 수 있는데, 이러한 집합들이 그래프 G의 연결성분이 되는 것임.
연결 그래프: 연결 성분의 집합이 곧 V인 경우로, 오직 하나의 연결 성분으로만 구성이 되어있으며, 이것은 곧 그래프의 정점 전체가 연결이 되어있다고 볼 수 있음. ( 이러한 구조를 띄는 그래프를 연결 그래프라 함 )

(1) 그래프 G1 의 연결 성분은 V1 으로 모두 연결된 경우이며, 이것은 연결 그래프로 볼 수 있음.
(2) 그래프 G2 의 연결 성분은 V1, V2, V3 가 있으며, 3개의 연결된 요소로 나뉘기 때문에 연결 그래프가 아님.

단순 연결 그래프는 정점의 루프가 없어야 하며, 병렬변이 없어야하며, 방향이 없어야 함.
(1) 번은 루프와 병렬변이 있기 때문에 => 단순 연결 그래프가 아님. ( 연결 그래프는 맞음. )
(2) 번은 병렬변이 있기 때문에 => 단순 연결 그래프가 아님. ( 연결 그래프는 맞음. )
(3) 번은 같은 방향으로가는 병렬변이 없고, 루프가 없기 때문에 => 단순 연결 그래프임.
(4) 번은 루프, 병렬변이 없지만, 두 개의 연결성분을 가지기 때문에 연결 그래프로 볼 수 없기 때문에 => 단순 연결 그래프 X.

✅ 2. 그래프의 종류

(1) 완전 그래프

완전 그래프: 임의의 두 꼭지점을 꺼내서 연결하려고 할 때, 항상 두 꼭지점을 연결하는 변이 존재하는 그래프를 의미함.
쉽게 말해, 임의의 두 꼭지점을 연결하는 간선이 존재해야 하기 때문에 모든 정점은 인접해 있어야 하며, 부수되어 있어야함.

완전 그래프 예제: 위의 예시와 같이 완전 그래프는 모든 정점이 인접해 있는 구조를 띄고 있음.
위와 같은 특성이 존재함. ( 모든 꼭지점 차수는 n - 1 )

(2) 이분 그래프

이분 그래프: 그래프 G 의 V들의 그룹을 2개로 분할 했을 때, 각 그룹의 정점들간의 간선이 존재하지 않는 경우 해당 그래프를 이분 그래프라고 정의함.

이분 그래프 예제: 위와 같이 두 그룹 내에서는 간선이 존재하지 않아야 하며, 두 그룹간의 정점은 연결되어 있는 형태임.

(3) 완전 이분 그래프

완전 이분 그래프: 이분 그래프의 특성에 따라 그래프의 정점을 두 그룹으로 나누고, 나뉜 각 그룹 내에서는 정점간의 간선 연결이 없어야 하며, 한 그룹의 모든 정점이 다른 그룹의 모든 정점과 전부 연결된 그래프를 의미함.

완전 이분 그래프 예제: 위와 같이 두 개로 분할 된 정점들에서 각 그룹안에서는 연결이 없는 형태이며, 한 그룹의 모든 정점이 다른 구릅의 모든 정점과 연결된 모습을 볼 수 있음. ( 위와같이 K1,3 / K2,3 형식으로 표현함. )

(4) k-정규 그래프

정규 그래프: 그래프 G의 모든 꼭지점(정점)들이 동일한 수의 인접한 꼭지점(정점)을 갖는 경우 G를 정규 그래프라고 말함.
즉, 정규 그래프 G는 모든 꼭지점이 동일한 차수를 가질 수 있다고도 볼 수 있음.
k-정규 그래프: 모든 정점의 차수가 정확히 k가 될 수 있기 때문에 k인 그래프라고 해서 k-정규 그래프라고도 부름.

0-정규 그래프: 모든 정점이 0개의 차수를 가지는 정규 그래프
1-정규 그래프: 모든 정점이 1개의 차수를 가지는 정규 그래프
2-정규 그래프, 3-정규 그래프: 동일하게 모든 정점이 2,3개의 차수를 가지는 정규 그래프
해당 3-정규 그래프는 완전 그래프(모든 정점이 모든 정점과 연결된 그래프)라고도 볼 수 있음.

✅ 3. 그래프의 표현

(1) 발생행렬

발생행렬: 그래프의 꼭지점(정점)과 변(간선)의 특징을 행렬로 표현한 것을 의미한다. ( MI = (aij) 로 표현함 )
쉽게 말해, 꼭지점(정점) = 행 / 변(간선) = 열 구조로 발생행렬을 만들 수 있으며, 내부는 부울행렬 구조로 연결이 되어있을 때를 발생함으로 보고 원소 값을 1로 표현하며, 그 밖의 경우는 0으로 표현함.
그래프를 발생행렬로 표현을 하면 당연히 V(정점) * E(간선) 의 크기의 부울행렬로 표현함.

V(정점)을 행으로 표현하기 때문에 v1,v2,v3 의 행과 e1,e2,e3,e4 의 열을 가지는 3 * 4 부울 행렬로 표현함.
정점에 부수된 간선이라면 1로 표현 나머지는 0으로 표현함.

(2) 인접행렬

인접행렬: 발생행렬과는 다르게, 꼭지점(정점)만을 가지고, 행과 열을 표현한 행렬임.
즉, 정점의 개수 * 정점의 개수 ( V * V ) 크기의 행렬로 만들어지며, 행렬의 원소로는 연결 된 간선의 개수 즉, 연결 개수가 원소고 들어가게 됨.

인접행렬 예제: 방향 그래프의 경우에 인접 행렬을 만든다면, 위와 같이 정점간의 연결 된 간선의 개수가 원소로 들어감.

(3) 인접 리스트

인접 리스트: 그래프의 각 정점의 인접하는 정점들을 차례대로 연결 리스트로 표현한 것을 의미함.

예제: 단순히 그래프의 각 정점들을 리스트로 두고, 각 요소들에 인접한 정점들을 연결 리스트로 구성하는 것임.

[이산수학] 8강 - 부울대수

junbin2 — Mon, 18 May 2026 17:59:27 +0900

✅ 1. 기본사항

(1) 디지털 논리회로

디지털 논리회로: 0과 1같은 이산적인(끊어진) 신호를 이용해 정보를 처리하는 전자 회로를 의미한다.
쉽게 말해, 입력과 출력이 디지털 신호로 들어오거나 나오게 되는데, 이때 중간에서 디지털 논리회로가 이를 처리를 해주는데, 이것은 0과 1로만 표현되는 하나의 반도체 회로로 볼 수 있음.
또한, 0과 1을 통해 논리회로로써 참(True)과 거짓(False)을 전기 신호로 표현해 논리 연산을 수행하는 구조임.
즉, 논리회로 자체는 AND, OR, NOT, ... 으로 실제로 물리적으로 구현이 되어있음을 알 수 있음.

(2) 기본 논리게이트 ( AND, OR, NOT )

AND 게이트: 디지털 신호(0,1)가 입력값 X, Y에 들어오게 될 때, (0,0)인 경우 0(False), (0,1) or (1,0)인 경우 0(False), (1,1)인 경우에만 1(True)로써, 논리곱(AND 연산)이라 불리며, p^q 또는 X · Y 로 표현이 됨.
논리곱인 이유는, 0 * 0 = 0; 0 * 1 = 0; 1 * 0 = 0; 1 * 1 = 1 과 같이 두 수를 곱했을 때 나오는 결과 중 1은 둘 다 True 인 경우이기 때문에 이러한 과정을 통해 논리곱으로 보는 이유를 알 수 있음.

OR 게이트: 논리합으로 불리며, 두 이진수를 더했을 때, 값이 0이면 False, 1이면 True 인 논리게이트임.
기호 표현: X + Y 또는 p ∨ q 로 표현이 됨.

NOT 게이트: 일항 연산에 쓰이며, 입력에 들어온 값을 반전시키는 논리게이트임.
이러한 기본 논리게이트를 활용해서 NAND, NOR, XOR, XNOR 을 구성 할 수 있으며, 기본 논리게이트(AND, OR, NOT)로 모든게 이루어져있다고 보면 됨.

(3) 기타 논리게이트 (NAND, NOR, XOR, XNOR)

NAND: AND 게이트에 NOT 을 붙힌 논리게이트로, AND의 결과에 NOT이 붙어 반전되어 출력이 되는 논리게이트임.

NOR: OR 게이트에 NOT 을 붙힌 논리게이트로, OR의 결과에 NOT이 붙어 반전되어 출력이 되는 논리게이트임.

XOR: 베타적 논리합으로, 두 개의 입력값이 서로 다를 때만 1(True)을 출력하고, 같은 경우에는 0(False)을 출력하는 게이트

XOR 게이트 기호: A ⊕ B 로 표현하며, 논리식은 위와같이 표현하기도 함.
AB = A * B = A and B 로 AND 연산이며, 해당 연산 두개에 대해서 각각 A, B에 NOT을 붙혀주고 최종적으로 OR 연산 진행

XNOR 게이트: XOR 게이트의 최종적으로 NOT이 붙은 게이트이며, XOR 게이트의 결과값의 NOT이 되는 원리임.

✅ 2. 부울대수

(1) 부울대수 소개

부울대수: 수학의 한 분야로써, 컴퓨터의 논리 연산의 기초가 되는 체계로 0(False), 1(True)만으로 표현하는 수학을 의미함.
쉽게 말해, 일반적인 수학에서는 1,2,3, ... 같은 무한한 숫자를 다루지만, 부울 대수에서는 0과 1만을 가지는 부울값을 통해서 정해진 부울연산과 합쳐 부울식으로써 부울 대수를 정의하고 있음.
부울값(부울상수): 0 = 거짓(False), 1 = 참(True) 와 같이 두 값이 부울값임.
부울변수: A, B, X 와 같이 0 또는 1 값을 가질 수 있는 변수를 의미함.
부울연산: AND, OR, NOT, ... 등의 부울값끼리 계산하는 연산을 의미함.
부울식: 부울값과 부울연산을 이용해서 만든 식으로 예를 들면, A AND B, (A OR B) AND NOT C ... 등이 있음.
이런것들을 포함하고 있는 수학 체계가 부울 대수인 것임.

부울식: 부울상수 0,1 은 부울식으로 보며, 부울변수 또한 부울식으로 보며, X,Y가 부울식일 때, 합쳐진 부울 연산을 부울식으로 보는 것임. 즉, 아주 작은 단위도 이미 부울식으로 본다는 의미임.

(2) 부울대수의 성질

X + 0 = X 에서 + 는 OR(논리합)을 의미 할 수 있음.
X * 1 = X 에서 * 는 AND(논리곱)을 의미 할 수 있음.

위와 같이 여러 법칙이 존재함.
(15) 번과 같은 것은 일반적인 실수 법칙에서는 성립하지 않고, 부울 대수에서만 성립이 되는 법칙임. ( 18번, 19번도 일듯 )

왼쪽은 논리이며, 오른쪽은 부울대수 표기법이며, 둘의 관련성을 나타냄.
논리상에서 p, q, r 은 명제를 의미하지만, 부울대수에선 X, Y, Z 로 부울 변수로 보고 있음.
논리상에서 T, F 는 명제에 대한 참, 거짓을 의미하지만 부울대수에선 1, 0 으로 표현함.
그 외에도 동일함.

논리 및 집합에서의 기본정리이며, 부울대수 법칙에 적용이 될 수 있음.

(3) 쌍대성 원리

쌍대성 원리: 부울식에서 논리곱, 논리합인 상태를 서로 바꾸고, 논리상수 0과 1을 서로 바꾸면 원래 부울식의 동일한 결과를 얻을 수 있는데, 이것을 쌍대라고 함. ( 쌍대: 주어진 부울식과 그것의 진리값이 서로 같음을 의미함. )
쉽게 말해, 어떤 부울식이나 부울 법칙에서 논리합, 논리곱 서로 바꾸고, 0과 1을 서로 바꾸었을 때, 새로 얻어진 식도 역시 참이 된다는 원리를 의미할 수 있음.

쌍대성 원리 예제: 위와 같이 X + 0 = X 의 경우 논리합(+) 와 0을 각각 논리곱(*) 과 1로 바꾸게 된다면 X * 1 = X 가 됨.

드 모르간 법칙: 전체를 부정하면, 연산이 반대로 바뀐다는 의미를 가지는 법칙으로, 쉽게 말해 OR 연산을 부정하면 AND 로 바뀌고 AND를 부정하면 OR로 바뀌는 것을 의미함.
정리하면 드 모르간 법칙은 보수를 구하기 위한 법칙으로 볼 수 있는 것임.

(4) 부울함수의 보수

보수: 결과를 반대로 뒤집는 것으로, 0인 경우에는 1로, 1인 경우에는 0으로 뒤집는 것을 의미함.

부울함수의 보수: 부울함수에서의 결과를 뒤집는 것을 의미하며, NOT 논리게이트가 붙어있다고 생각하면 됨.

부울함수의 보수 예제1: 드 모르간 법칙을 활용해서 예제를 풀고 있으며, 전체에 부정을 취하게 되면 법칙에 따라 논리합이 논리곱으로 바뀌게 되고, 각 부울변수에서 AND로 연결된 식 전체를 부정하면, 각각을 부정하고 더하기(OR)로 바꾼 것과 동일하기 때문에 X'' + Y' + Z" * X'' + Y'' + Z' 이 만들어지게 되며, 여기서 이중 부정의 법칙으로 부정을 두 번 하면 원래 자기 자신이 되기 때문에 최종적으로 (X + Y' + Z)(X + Y + Z') 가 되는 것임.

부울함수의 보수 예제2: 쌍대를 활용해서 예제를 풀고 있으며, 각 문자를 보수(반전)로 바꾸면 위와같은 결과를 얻을 수 있음.

✅ 3. 부울함수의 대수적 간소화

(1) 간소화 목적

간소화 목적: 위의 논리회로 두개는 동일한 기능을 하는 논리회로이며, 한 눈에 보기 편한 오른쪽의 회로가 좋음을 알 수 있음.
처리속도도 빨라지며, 고장도 덜나고, 비용이 절감되는 장점을 가지기 때문에 간소화를 반드시 하는게 좋음.

부울함수와 논리회로는 1:1 대응 관계이며, 진리표, 부울함수, 논리회로에 대한 상관관계를 나타내고 있음.

복잡한 논리회로는 복잡한 부울함수로 인해서 나오게 된것이며, 간소화를 시켜 간단한 부울함수를 통해 논리회로를 얻음.

(2) 간소화 예

항결합: 두 개의 항을 결합하여 하나의 항으로 만드는 방법을 의미함.

문자 소거: 중복된 문자를 제거하는 방법으로 흡수법칙을 이용한 방법임.

중복항 첨가: 부울함수의 진리값이 변하지 않도록 하면서 간소화를 위한 적절한 항을 첨가하는 방법을 의미함.

위와 같이 복잡한 부울함수가 있을 때, 대수적인 방법으로 풀게되면, 결과적으로 X만 남게 됨.
여러가지 대수법칙을 활용해서 간소화 시킬 수 있음.

[이산수학] 7강 - 함수

junbin2 — Fri, 15 May 2026 20:03:40 +0900

✅ 1. 기본사항

(1) 함수란?

함수: 어떤 입력값을 넣었을 때 규칙(f)에 따라 정확히 하나의 출력값을 대응시키는 관계를 의미함. ( 입력 하나 -> 출력 하나 )
X에서 Y로의 함수 조건인 X의 모든 원소가 반드시 대응되어야 하고, 각 원소는 오직 하나의 관계만 가지는 조건을 만족하는 상태에서의 X에서 Y로의 관계는 관계 집합 f 는 X x Y (X, Y 곱집합)의 부분집합으로 볼 수 있음.

집합 관점 쉬운 설명: 집합 A, B가 있을때, A에서 B로의 관계 중 A의 모든 원소가 반드시 대응되어야 하고, 각 원소가 오직 하나의 값만 가지면 이것은 함수인 것임.

(1) 함수 정의1: 집합 X의 모든 원소 x, 집합 Y의 임의의 원소 y에 대응되는 관계 집합을 f(x) = y 로 표현하기도 함.

정의역: 함수에서 출발지로, 함수 f : X -> Y 가 있을 때, 집합 X를 정의역이라함.
공역: 함수에서 도착지로, 함수 f : X -> Y 가 있을 때, 집합 Y를 공역이라함.
상(y): 특정 x가 함수를 거쳐 나온 결과물을 의미하며, y는 x의 상이다 라고함. ( 즉, x,y 대응되는 원소 사이의 관계 )
역상(x): 결과물 y가 나오게 만든 원인을 의미하며, 상의 반대로써 대응되는 원소의 반대적인 관계로 x는 y의 역상이라함.
치역: 공역(Y) 중에서 실제로 X로부터 대응되는 원소들을 모두 모아놓은 부분집합을 치역이라함.

특정 x가 함수를 거쳐 나온 결과물 각각을 y를 x의 상이라 하며, 이러한 상들이 모인 부분 집합을 치역이라하는 것임.
함수 집합은 정의역 집합과 공역 집합이 만들어낸 관계 집합으로 볼 수 있으며, 핵심은 관계 집합에서 특수한 규칙인 함수라는 규칙을 부여하게 되면, 이것은 함수로 보는 것임.

[ 상수 함수 ]
# 입력값 x가 무엇이든 무조건 42만 반환하는 상수함수
def constant_function(x):
    return 42

상수함수: 오직 하나의 공정된 결과(상수)만 나오는 함수를 의미하며, 쉽게 말해 정의역 X, 공역 Y 에서 Y의 특정 원소 c가 딱 정해져 있어서 X에 있는 모든 원소의 상이 전부 c로 통일되는 함수를 의미함. ( 위의 예시로 보면 이해하기 쉬움 )

[ 항등 함수 ]
# 입력받은 x를 그대로 돌려주는 항등함수
def identity_function(x):
    return x

항등함수: 정의역과 공역이 같은 집합 X일 때, 집합 X의 모든 원소 x에 대하여 자기 자신을 상으로 갖는 함수를 의미하며, 쉽게 말해 정의역과 공역이 같은 집합 X이기 때문에, 관계를 만들 때 X 곱집합 X (데카르트 곱)을 통해서 X 집합 내부의 모든 원소간의 쌍을 이루게 되는데, 이때 항등함수는 함수의 조건인 자기 자신을 상으로 가져야 한다는 조건 즉, 같은 원소간의 쌍을 이루어야 한다는 조건으로 인해 X = {1,2,3} 일 때 결과는 f = {(1,1),(2,2),(3,3)} 이 되는 것임.
위의 파이썬으로 항등함수의 예시를 보면 정의역(입력) x 원소가 공역(출력) x 원소로 동일한 것을 알 수 있음.

(2) 함수의 상등

함수의 상등: 함수 내부의 원리는 달라도 입력과 결과가 같을 때 해당 함수는 상등하다고 볼 수 있음.
즉, 내부 원리는 달라도 둘은 같은 입력과 같은 출력이 나온다면 완전히 같은 함수로 볼 수 있다는 의미임.
함수의 관계 집합 f , g 의 입력과 결과가 같을 때 해당 함수는 f = g 로 상등함

(3) 함수의 예제

함수 예제1: (1) f의 정의역 = X, 공역 = Y, 치역은 Y의 (a,b,c) 부분집합, (2) x(1) 의 상은 대응되는 a임, (3) b의 역상은 상의 대응되는 반대인 2임, (4) f(3) = c

함수 예제2: 정의역의 원소는 반드시 하나의 대응 관계만을 가져야 하기 때문에 (2) 번은 틀리고, 정의역의 원소들은 반드시 하나의 대응 관계는 가지고 있어야 하기 때문에 (3) 번도 틀리고, 모든 조건에 부합한 (1)번이 맞는 함수임.

함수 예제3: (1)번의 관계 집합 R 은 정의역의 모든 원소가 대응되지 않기 때문에 함수 관계가 아니며, (2)번도 마찬가지로 아니며, (3)번 관계 집합 T는 정의역의 모든 원소가 대응되며, 동일한 공역의 원소와 관계를 가지고 있더라도 조건에 부합하기 때문에 맞는 것임. 즉, (3)번 관계 집합 T가 함수로 볼 수 있음.

함수 예제4: 역관계 일 때, 뒤의 원소가 결국 정의역이기 때문에 모든 원소간의 대응 관계를 가지는 (3) 번이 답임.

함수의 상등 예제1: 함수 관계 집합 f , g 의 정의역과 공역이 같으므로, 함수의 조건이 다르더라도 이것은 상등으로 볼 수 있음.

함수의 상등 예제2: 함수 관계 집합 f 는 x^2 , g 는 1로 상수기 때문에 두 함수의 식 모양이 다르지만, 같은 함수가 되도록 묶어 줄 수 있는 유효한 정의역 집합 그 자체를 구하는 것이기 때문에 정의역 X는 {1}, {-1}, {-1,1} 중 하나가 될 수 있음.

✅ 2. 전사함수, 단사함수, 역함수

(1) 전사함수

전사함수: 함수의 정의역 X 원소와 공역 Y 원소가 대응될 때, 대응 되는 공역 부분을 공역(Y) 의 부분 집합으로 치역이라 부르며, 정의역 X 원소가 치역 모든 원소가 대응될 때, 치역은 곧 공역이 되는데, 이렇게 모든 공역의 원소가 대응되는 함수를 전사함수라고 부름.

(2) 단사함수

단사함수: 정의역(X) 의 원소와 공역(Y) 의 원소는 1:1 대응 관계만 가능하며, 쉽게 말해 정의역(X)의 원소들이 동일한 공역(Y)의 원소와 대응관계를 가질 수 없는 완전한 1:1 one-to-one 의 관계를 가지는 함수를 의미함.
전사함수의 경우 정의역 원소 5개, 공역 원소 3개인 경우에도 결국 모든 정의역 원소는 1개의 대응 관계를 가지기만 하면 되기 때문에 5개의 정의역 원소는 공역 원소에 중복된 원소와도 대응 관계를 가질 수 있는것에 반해, 단사함수의 경우 정의역 원소가 공역 원소에 중복된 대응 관계를 가질 수 없는 함수를 의미함.

(3) 전단사함수

전단사함수: 전사함수이면서, 단사함수인 함수를 전단사함수라고 하며, 두 함수의 조건을 통합했기 때문에 두 원소의 개수는 항상 같을 수 밖에 없는 특징이 있음.

(4) 전사, 단사, 전단사 예제

(1) 번의 경우 정의역(X) 원소와 공역(Y) 원소가 1:1 대응 관계만을 가지고 있기 때문에 단사 함수로 볼 수 있음.
(2) 번의 경우 정의역(X) 원소와 공역(Y) 원소가 1:1 대응 관계는 아니지만, 치역의 크기와 공역의 크기가 동일한 특징을 가지고 있기 때문에 이것은 전사 함수로 볼 수 있음.
(3) 번의 경우 정의역(X), 공역(Y) 의 모든 원소가 동일하고, 1:1 대응 관계를 가지기 때문에 전단사함수임.

예제2: 해당 함수내의 규칙은 f(Z): 함수에 모든 정수를 다 넣었을 때 실제로 나오는 결과물들의 집합이며, 치역이 되는데 이러한 치역과 또 다른 조건인 정수 x를 가지고 2x 형태로 만든 집합이라는 뜻으로, 실제로 정수(... , -1, 0, 1, 2, ... )들을 함수에 넣어서 계산해 보면 결과는(... , -2, 0, 2, 4, ...) 같은 짝수들만 나오게 됨.
근데 여기서 처음에 설정한 공역은 모든 정수(Z) 이기 때문에 짝수 집합은 모든 정수 집합과 같지 않아 홀수들(1, 3, 5..)은 화살표를 받지 못하게 남게 되므로, 공역과 치역의 크기는 동일하지 않아 전사함수가 아니게 됨.
정의역에서 서로 다른 원소(x1,x2)를 뽑아서 함수에 넣으면, 그 결과인 공역의 원소f(x1) ≠ f(x2)도 무조건 서로 다르기 때문에 1:1 대응 관계가 만들어져서 단사함수는 맞음.

(5) 역함수

역함수: 함수가 쏜 화살표를 그대로 반대 방향으로 되돌려 보내느 거꾸로 함수로, 원래 함수가 x를 넣어서 y를 나오는 관계였다면, 역함수는 반대로 y를 넣으면 처음의 x가 쳐들어오는 관계를 의미할 수 있음.
또한, 반드시 전단사함수(1:1 대응) 이여야만 역함수가 될 수 있음.
그리고 (f^-1)^-1 = f 즉, 인버스의 인버스는 자기 자신이 됨.

역함수 예제: (1)의 1번과 2번을 통해 전단사함수를 알 수 있고, (2) 의 정의역(X) 실수를 넣었을 때, 공역(Y) 에 x + 3 값으로 대응되기 때문에 역함수는 반대로 f^-1(x) = x - 3 이 될 수 있음.

(6) 합성함수

합성함수: 두 개 이상의 함수를 체인처럼 이어 붙여서 하나의 함수처럼 만드는 것을 의미함.
함수 집합 여러개가 대응되는 관계일 때, 연결점에 해당하면 합성 관계로 된 함수 집합이 생기게 되며, g ○ f : A -> C 구조가 됨.

(7) 정리

(1) 전사함수 f, g 함수 관계집합이 각각 합성함수일 때, g o f 또한 합성함수가 됨.
(2) 단사함수 f, g 함수 관계집합이 각각 합성함수일 때, g o f 또한 단사함수가 됨.

(1) 합성함수는 교환 법칙이 성립이 되지 않지만, 결합 법칙은 성립이 됨.

✅ 3. 함수의 종류

(1) 계승함수

계승함수: 팩토리얼 함수로도 불리며, n 팩토리얼(n!) 은 1 x 2 x 3 x ... x n 까지 곱한 수를 의미한다.
이러한 함수의 종류들은 정의역과 공역의 대응 관계를 가지게 만들어주는 함수 내부의 로직으로 볼 수 있음.

(2) 바닥함수

바닥함수: 실수 x에 대해, x 보다 작거나 같으면서 가장 큰 정수를 구하는 함수를 의미한다. ( 내림 )
예를들면, 양수 3.14 = 3, 5.0 = 5 가 되는 것이며, 음수일 때에는 특이하게 -2.4 의 경우 -2가 더 클 수 있지만, -2가 아닌 -3 이 되는데, 이것은 수평선에서 항상 왼쪽에 있는 정수를 고르는 원리임.
쉽게 말해, 바닥으로 내림을 한다고 보면 됨.

(3) 천장함수

천장함수: 실수 x에 대해, x 보다 크거나 같으면서 가장 작은 정수를 구하는 함수를 의미한다.
쉽게 말해, 올림이라고 생각할 수 있으며, 2.6 = 3, -2.6 = -2 가 되는 원리임.

바닥함수와 천장함수 그래프 모양은 위와 같은 모양으로 나올 수 있음.

(4) 나머지 함수

나머지 함수: 모듈로 함수, mod 함수로도 불리며, 정수 n과 양의 정수 m에 대해 n / m 의 경우에 해당하는 나머지를 구하는 함수를 의미한다.

(5) 계승함수, 바닥함수, 천장함수, 나머지함수 예제

(1) 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
(2) 4!/5! = 5/4 * 4/3 * 3/2 * 2/1 * 1/0 = 5
(3) n * n - 1 / 1

(1) 천장 함수이며, 2.1 = 3 이 됨. ( 올림 )
(2) 천장 함수이며, 3이 됨. ( 올림 )
(3) 천장 함수이며, -2 가 됨. ( 올림 )
(4) 바닥 함수이며, 3.5 = 3이 됨. ( 내림 )
(5) 바닥 함수이며, -0.5 = -1이 됨. ( 내림 )

(1) 5 mod 3 = 5 / 3 = 2
(2) 5 mod -3 = 5 / -3 = -1
(3) -5 mod -3 = -5 / -3 = -2

[이산수학] 6강 - 관계

junbin2 — Wed, 13 May 2026 11:49:35 +0900

✅ 1. 기본사항

(1) 곱집합

곱집합: 집합 A와 B의 곱집합은 A X B 로 표현이 되며, A의 원소와 B의 원소의 모든 순서쌍들의 집합을 곱집합이라함.

A = {1, 2}, B = {a, b}
곱집합 = A X B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}

쉽게 말해, 두 집합 A와 B에서 공통된 원소를 찾는 것은 교집합이며, 곱집합은 두 집합의 원소들을 하나씩 뽑아 만들 수 있는 모든 가능한 '순서쌍'의 모임을 말합니다.

(2) 관계

예시: "x는 y보다 작다"라는 관계(R)
조건: x < y
곱집합 중 선택된 원소: (1, 2), (1, 3), (2, 3)
결과: R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} ⊆ (A X B)

관계: 곱집합의 모든 원소 중 특정한 조건을 만족하는 순서쌍들만 골라낸 것을 관계라고 함.
즉, 관계는 곱집합 내의 부분집합으로 곱집합이라는 전체 틀 안에서만 존재하며, 곱집합과 종속적인 관계를 가짐.

학생집합 X, 과목집합 Y 를 통해서 수강관계 R을 얻을 수 있음.

✅ 2. 관계의 표현

(1) 화살표 도표

화살표 도표: 집합 X와 Y 사이의 곱집합의 부분 집합이라는 관계라는 개념을 화살표로 표현하는 방식을 의미함.

화살표 도표 예제1: 집합 A와 B의 곱집합 A X B 의 원소 (x, y) 는 관계 R을 가지기 위한 필요충분조건은 y > x 이기 때문에, A 집합의 1부터 비교를 하며, 집합 R에 원소로 만들 때 {1, 2} 의 원소만 들어가게됨.

화살표 도표 예제2: 집합 A와 B의 곱집합(A X B) 필요충분조건 x = y 인 경우가 S 집합인 경우, S 집합의 원소는 S = {(1,1),(2,2)} 두 개의 순서쌍만이 집합 S의 원소가 됨.

화살표 도표 예제3: 명확한 조건식으로 관계를 정의하는 대신에 T = {} 는 식 대신 연결된 결과(순서쌍)를 직접 나열하여 관계를 정의한 케이스임.

(2) 방향 그래프

방향 그래프: 정점과 간선으로 이루어진 구조이며, 방향이 있는 그래프를 의미함.

x,y ∈ X: 집합 X에 x, y 원소가 속해있다는 의미이다.
(x,y) ∈ R: 집합 X를 기반으로 관계 R에서 x와 y 사이에 관계가 성립함을 뜻하는 순서쌍을 의미함.
이때 x는 시작점(정의역), y는 끝점(공역)이 됨. 즉,x -> y 로 가는 방향을 가지는 그래프 형태가 된다는 의미임.

예제1: 집합A = {1,2,3} 를 기반으로 관계 집합 T에는 관계를 가지는 순서쌍이 원소로 들어가 있으며, 이를 방향 그래프로 표현하면 위와같은 방향 그래프가 형성이 될 것임.

(3) 부울행렬

관계-부울행렬 표현이란: 집합 사이의 관계를 컴퓨터가 이해하기 쉬운 행렬 형태로 변환하는 방법임.
두 집합: 집합 X = 원소가 m개인 집합, 집합 Y = 원소가 n개인 집합이 존재함.
관계 R: 두 집합 사이의 관계 R = X에서 Y로의 어떤 관계가 정의 되어있음.
부울행렬 관계 표현: 두 집합의 원소인 x, y 사이에 관계가 존재할 때는 즉, 집합 R에 원소가 있다는 의미로 부울행렬 1로 표현 반대로 집합 R에 없을 때는 관계가 없다고 판단하므로 부울행렬 0으로 표현이 됨.

부울행렬 예제: 집합 A = {1,2,3} 는 관계 집합 T 의 원소들의 순서쌍에 맞게 1과 0으로 표현을 함.
집합 T = 관계 집합으로, 순서쌍을 가지는 원소가 있을 때 부울행렬에 값을 1로 올려주고 없을 때 0으로 씀
즉, Mr 이건, Mt이건 결국 둘 다 관계 집합이며, 행렬로 따로 표현을 하는 것임.

✅ 3. 관계의 성질

(1) 성질의 종류

관계의 성질: 반사적 성질, 대칭적 성질, 추이적 성질이 세 가지 종류가 있음.
집합 A에서의 관계 R: 집합 A에서 집합A로의 관계로 외부의 다른 집합과 연결하는 것이 아닌, 집합 A안에 있는 원소들끼리 서로 어떻게 연결되는지를 보는 관계 R을 의미함.
반사적: 모든 원소가 자기 자신과 연결되어 있는 구조를 의미하며, 모든 a ∈ A에 대하여 (a,a) ∈ R이어야 함.
대칭적: 관계에 방향성 없거나 있더라도 양방향 구조를 의미하며, (a,b) ∈ R이면 반드시 (b,a) ∈ R이어야 함.
추이적: 관계가 다리 건너 전달이 되어야 하는 구조를 의미하며, (a,b) ∈ R 이고 (b,c) ∈ R이면 반드시 (a,c) ∈ R 이어야 함.
즉, a에서 b로 가고 b에서 c로 가는 길이 있다면, a에서 c로 바로 가는 직통 화살표가 반드시 있어야 한다는 의미임.

예제1: R = {(1,1), (2,2), (3,3), ... } 반사적인 특징만 가지고 있기 때문에 (1)번이 답임.

예제2: R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1)...} 반사적인 성질을 가짐과 동시에 대칭적인 성질도 가짐. 답: (1)(2)
관계가 존재하는 모든 쌍에 대해 역방향이 존재하기 때문에 대칭적임.

예제3: T = {(3,2),(2,1),(3,1)...} 3 -> 2 -> 1 구조 말고도 3 -> 1로 바로가는 직선 코드가 있기 때문에 추이적임.
반사적x: 추가적으로 집합의 모든 원소 a에 대해 (1,1), (2,2), (3,3) 이 아니기 때문에 반사적이지 않음.
대칭적x: 또한, 관계를 가지는 (3,2), (3,1) 에 대한 역방향 관계가 없기 때문에 대칭적이지 않다고 볼 수 있음.

(2) 관계의 성질과 부울행렬

반사적: 집합 A 의 반사적인 특징인 (a,a)의 반사적 순서쌍을 가진다면, 부울 행렬에서 순서쌍을 가지는 원소의 값이 1이 될 때의 모습은 반사적 특징을 가진다면 대각선이 모두 1인 경우가 될 수 있음.

A={1,2,3}
R={(1,1),(2,2),(3,3, ...)}

위의 예시를 보면 집합 A = {1,2,3} 일 때, 집합 R 의 원소들이 반사적 순서쌍을 가진다면 대각선으로 모두 1이 되는 모습을 볼 수 있음.

대칭적: 집합 A = {a,b} 인 경우 집합 R = {(a,b), (b,a)} 대칭적 형태를 띄워야 함.

A={1,2,3}
R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,3)}

예시를 보면, (1,2) 대칭 (2,1) 을 보면 대칭적인 위치에 부울 행렬이 1인 모습을 볼 수 있음. (부울행렬에서의 대칭적인 표현임)

추이적: a -> b -> c 로 갈 수 있다면 제일 첫 번째 a -> 마지막 c로 한 번에 갈 수 있어야 하는 성질임.

추이적 특성을 지니는 원소들의 부울행렬의 곱을 진행하면 추이적 위치의 부울 행렬을 얻을 수 있음.

(3) 관계의 성질과 부울행렬 - 예제 풀이

예제1: 모든 원소에 대해서 반사적이어야 하지만, 4는 반사적이지 않기 때문에 반사적이 아님 답은 (1)

예제2: 반사적이지 않으며, 대칭적이 아님. 1 -> 2 -> 3 -> 4 와 1 -> 4가 있으므로, 추이적임.

예제3: 추이적x, 대칭적x, 대각선이지만 같은 원소가 아니므로 반사적이지 않음.

✅ 4. 관계의 종류

(1) 역관계

역관계: 기존의 관계를 반대로 뒤집은 것을 의미하며, 집합 R이 X에서 Y로 가는 방향이었다면, 역관계는 집합 R-1 로 Y에서 X로 가는 방향임. 즉, (x,y) 의 순서쌍이 뒤집힌 (y,x) 순서쌍의 집합으로 볼 수 있음.

역관계 예제: 조건 y = x - 1이고, x는 집합 A = {1,2,3,4}, y는 집합 B = {0,1,2,3} 에 속해야하며, 원래 관계 R의 원소를 조건을 통해서 구하게 되고(조건에 부합한 경우 집합에 포함), 이후에 R-1 역관계로 모든 원소들을 뒤집어 역관계를 구하게 됨.
S^-1 의 경우 단순히 원소들의 역관계를 구함.

(2) 합성관계

집합: A, B, C
R: A에서 B로의 관계
S: B에서 C로의 관계
R과 S의 합성관계: S ○ R ( 합성관계 하나의 집합으로 볼 수 있음. )
S ○ R 는 A X C (곱집합) 의 부분집합임을 알 수 있음.

합성관계: 한 관계를 거쳐 다른 관계까지 연속해서 연결 가능한 경우를 하나의 새로운 관계로 만든 것을 의미함.

연결 가능한 경우: 위의 그림처럼, 관계 R에 a 뿐만 아니라 b 원소도 반드시 포함해야하며(연결 가능한 b가 "하나라도 존재하느냐"를 따짐), 관계 S에 c 뿐만 아니라 b 원소도 반드시 포함되어 있어 관계 R과 S는 원소 b를 통해 합성 관계를 이룰 수 있는 원리인 것임.
집합 A, B, C -> R: A에서 B로의 관계, S: B에서 C로의 관계 -> S ○ R: R와 S의 합성관계를 의미함.
세부적으로는 각 관계 집합 R, S 에서 b원소를 통해서 연결을 지어 합성관계로 만드는 것!

예제1: 집합 A, B, C 가 있을 때, A와 B는 R의 관계 집합을 가지며, B와 C는 S의 관계 집합을 가진다. 이때, R 과 S 관계집합은 서로 집합 B의 b원소를 통해서 연결이 가능하기 때문에 합성관계 S ○ R 이 성립이 됨.
세부적으로 A -> C로 연결되는 집합간의 순서쌍을 이룸.

예제2: 집합 A, B, C 에서 각 관계 집합 R, S 를 이루는 원소들은 필요충분조건에 의해서 순서쌍을 이룰 것이며, 해당 순서쌍을 이룬 원소들 중에서 R과 S의 합성 관계의 또 다른 필요충분조건에 의해서 S ○ R 합성 관계를 이룰 수 있음.

(3) 합성관계 - 부울행렬 표현

집합 A, B, C 에서 A에서 B로의 관계 R, B에서 C로의 관계 S는 부울행렬로 M R = m x n 부울 행렬이 되며, M S = n x p 부울 행렬이 된다. 즉, 합성관계 M S○R = m x p 부울 행렬로 볼 수 있음.

합성관계 부울행렬 표현 예제1: 위와 같이 A에서 B로의 관계 R, B에서 C로의 관계 S가 존재할 때, 관계 집합 R의 집합 B의 원소와 관계 집합 S의 집합 B의 원소와 동일한 원소들의 집합이 합성 관계 S ○ R = {(a,x),(b,z),(c,x)} 가 됨.
이후, 부울행렬로 표현을 한다면, 위와 같이 합성관계 부울행렬이 만들어질 수 있음. 행렬의 위치와 대응된 값이 1로 표현됨.

(4) 동치관계

동치관계: 집합 A에서의 관계인 관계집합 R이 반사적, 대칭적, 추이적인 특징을 가진다면 R은 동치관계라고 부른다.

실수에서의 상등 관계: a = a, a = b 면 b = a 이다., a = b 고 b = c 이면 a = c 이다.

예제1: 부호 관계에서는 반사적이지만, 0 <= 1 true 1 <= 0 false 이므로, 해당 예제는 대칭적이지 않는 특징이 있음.

모듈로 합동: 8 mod 5 = 3, 13 mod 5 = 3 처럼 나머지를 구하는 연산을 의미함.
모듈로 합동은 8 mod 5 = 3, 13 mod 5 = 3 이기 때문에 8과 13은 mod 5를 진행함에 있어서 둘은 동치관계로 볼 수 있음.
자세히는 위와 같이 모듈로 합동은 반사적, 대칭적, 추이적 성질을 모두 만족하므로 동치 관계로 볼 수 있음.

(5) 동치류

동치류: 하나의 집합 내에서 특정한 기준에 따라 끼리끼리 묶어놓은 집합을 의미하며, 쉽게 말해 하나의 집합 내에서 공통적인 원소들을 묶어놓은 집합으로도 볼 수 있음.
[a]: a의 동치류로 집합 A안의 원소들(x) 중에서, 기준이 되는 원소 a와 관계(R)가 있는 애들만 쏙쏙 골라 모아놓은 부분집합을 의미 할 수 있음.

핵심은 실제 값은 다르더라도, 특정 조건 기준 조건을 통해서 같은 것으로 취급하는 관계로 볼 수 있음.
즉, 예를들면 위와 같이 A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8} 집합에서 a,b 를 3으로 나눈 나머지가 같다는 조건을 통해서 나눠지는 분할 된 부분집합들을 결국 동치류로 볼 수 있는 것임.
결론은 동치관계를 가지는 관계집합 내부에는 여러 동치류(동치관계에 의해 나눠지는 부분집합들)로 나눠지는 것임.
동치관계가 이루어져 있는 집합 R을 기반으로 동치류를 구하는 것임!!!!!!!!!!!

[0] (0의 동치류) 찾기: 관계 R에서 앞자리가 0인 순서쌍을 찾는데 (0,0) 하나뿐이기 때문에 이 순서쌍의 뒷자리에 있는 원소들을 모음. 순서쌍의 됫자리에 있는 원소들이 동일하게 0이기 때문에 [0] = {0} 이 됨.
[1] (1의 동치류) 찾기: 관계 R에서 앞자리 1인 순서쌍 모두 찾기 (1,1), (1,2) 가 존재하고, 해당 순서쌍들의 뒷자리에 있는 원소들을 모두 모으면 {1,2} 가 나오는데 이것이 [1] = {1,2} 이 됨 ( 1의 동치류 )
[2] (2의 동치류) 찾기: 관계 R 앞자리 1인 순서쌍 (2,1), (2,2) => [2] = {1,2} 이며, [1] 과 동일한 동치류가 나옴.
예제에선 서로 다른 동치류를 모두 찾으라고 했으므로, 0, 1의 동치류만 가능 즉, {0}, {1,2} 가 나옴.

관계집합 R이 동치관계가 이루어져 있는지 보고, 그 다음에 위에 동치류를 구하는 것임.

[이산수학] 4강 - 집합론

junbin2 — Mon, 4 May 2026 18:23:54 +0900

✅ 1. 기본사항

(0) 학습 목표

(1) 논리학과 집합론

논리합(OR): 합집합으로 표현이 가능하며, 둘 중 하나만 참, 둘 다 참인 경우 다 참으로 모두 포괄하는 합집합의 형태임.
논리곱(AND): 교집합으로 표현이 가능하며, 둘 다 참인 경우에만 참으로 한정적으로 포괄하는 교집합의 형태임.
이와 같이 논리학과 집합론의 관계를 알 수 있음.

(2) 집합과 원소

집합 자체의 용어는 무정의 용어이며, 무정의 용어는 정의 없이 사용하는 용어를 의미함.

(3) 집합의 표기법

S가 하나의 집합일 때 a ∈ S: a는 집합 S의 원소임을 나타냄.
S가 하나의 집합일 때 b ∉ S: b는 집합 S의 원소가 아님을 나타냄.
집합 S: 중괄호 { , } 로 표기를 함.
원소나열법: S = {1, 2, 3} 형식으로 나열을 표기함.
조건나열법: 조건을 줌으로써, 숫자를 나열하지 않고 표기를 하는 느낌임. ( S = { 0 < x < 4 } 는 결국 S = {1, 2, 3}과 동일 )
집합의 크기: |S| 와 같은 절대표기로 집합의 크기를 표현함.

(1) 집합이 맞음.
(2) 집합이 아님.
(3) 집합안에 집합이 있는 구조로 집합이 맞음.
(4) 동일한 원소는 두 번 사용하지 않기 때문에 집합이 아님.

위와 같이 빈 동그라미는 포함이 아니며, 찬 동그라미는 포함으로써 조건제시법으로 표현이 가능함.
결과적으로 -3 < x <= 4 인 실수들 모두 집합의 원소로 들어가 있다는 의미로 볼 수 있음.

(4) 부분집합

부분집합: A의 모든 원소가 B의 원소이면 A는 B의 부분집합이라함. ( A ⊆ B 또는 A ⊂ B 로 표기함. )
모든 x에 대해서 x 가 A의 원소면, x는 B의 원소이다.
집합 B = {1,2,3} 일 때, 가능한 부분 집합들 {1}, {1,2}, {2,3}, {1,2,3} 과 같이 여러 부분집합이 나올 수 있음.
즉, A가 B의 부분집합이라면, A의 원소 모든게 항상 B에 들어가 있어야 함.

진부분집합: 자기 자신을 가지는 전체 부분집합을 제외한 모든 경우의 수를 진부분집합이라함.
집합 B = {1,2,3} 일 때, 가능한 부분 집합들 {1}, {1,2}, {2,3}, {1,2,3} 에서 {1,2,3} 자기자신을 제외한 나머지 {1}, {1,2}, {2,3}을 진부분집합 이라고 함. ( 참고로, ∅ 공집합도 진부분집합 포함임 )

상동: A가 B의 부분집합이면서, B가 A의 부분집합이 되려면 결국 둘 다 똑같은 집합을 가져야하며, 이것을 상동이라함.
즉, 상동은 집합 A = {1,2,3} 일 때, 집합 B도 집합B = {1,2,3} 이렇게 동일한 집합을 가진 상태를 의미한다. ( A = B )

(1) 부분집합을 의미하는 기호이지, 원소 기호가 아니기 때문에 X
(2) ∅(공집합)은 모든 집합의 부분집합으로 O
(3) 집합의 일부를 가지며, 완전 동일하지 않기 때문에 진부분집합으로 볼 수 있기 때문에 O
(4) 원소를 가지기 때문에 O

(5) 서로소

교집합: A에도 속하고, 동시에 B에도 속하는 원소들만 골라낸 집합을 의미한다.
철수(A)의 가방: {연필, 지우개, 공책} , 영희(B)의 가방: {공책, 필통, 가위} = A ∩ B = {공책}
즉, 공집합은 항상 부분집합으로 존재하기 때문에 집합 A, B의 공집합은 교집합이 될 수 있음. ( A ∩ B = ∅ 성립됨 )
서로소: 집합 A, B 에서 공통된 원소가 하나도 없는 상태를 의미하며, 이것은 교집합이 공집합(∅)만을 가지는 경우임.
쌍으로 서로소: 여러 개의 대상(숫자나 집합)이 있을 때, 그 중 어떤 두 개를 딱 집어서 비교해도 무조건 서로소인 상태를 의미하며, 반드시 모든 집합의 원소들이 절대적으로 겹치지 않아야 하는 규칙이 있음.
반면, 서로소는 모든 집합간의 원소가 동시에 겹치지만 않아도된다는 느슨한 규칙의 차이임. 쉽게 말해, 집합 3개가 있다고 가정하고 집합 1, 2가 서로 원소가 겹치는게 있더라도 3이 겹치지 않으면 서로소가 맞음.

(1) 집합 A1, A2 는 겹치는 원소가 없기 때문에 교집합이 공집합인 상태로 서로소가 맞음. (O)
(2) A2와 A3는 서로소가 맞음 (O)
(3) A1, A2, A3에서 b 부분이 집합 A1, A3는 b원소가 교집합으로 겹치기 때문에 쌍으로 서로소가 아님 (X)

(6) 분할

분할: 집합 하나의 여러 원소들을 나눠서 여러 집합으로 만드는 것을 분할이라고 함. ( A집합을 나누면 A의 분할이라함 )
분할 조건1: 쪼개진 조각은 최소한 원소 하나는 갖고있어야함. 즉, 공집합이 아니어야 함.
분할 조건2: 쌍으로 서로소여야 함. 즉, 조각끼리 겹치는 특성이 교집합이 없어야 함.
분할 조건3: 조각들을 다 합집합하면 원래의 집합 S가 되어야함.

(1) 1번의 공집합은 포함이 되면 안되고, 2번과 3번은 합집합 했을 때, 원래의 집합 S가 되지 않으므로 잘못 된 것임.
(2) 집합을 분할할 때 통으로 {1, 2, 3} => {{1,2,3}} 으로 분할을 해도 이것도 분할로 봄. (trivial parition)

집합 {1,2,3}의 모든 분할을 위와같음.

모든 정수의 집합을 Z라고 봄. 즉, 1,2,3,4,5,6,7... 정수의 집합
Z0는 짝수들의 집합을 의미하고 있음.
Z1는 홀수들의 집합을 의미하고 있음.
Z0 ∪ Z1 = Z 는 Z0과 Z1이 합집합이 되면, 모든 짝수와 모든 홀수 원소의 합집합은 결국 Z(모든 정수의 집합)가 됨.
Z0 ∩ Z1 = ∅ 은 Z0과 Z1 집합은 서로 겹치는 원소가 없기 때문에 교집합임을 나타냄.
즉, 결과적으로 Z0, Z1 은 Z의 분할임을 알 수 있음.

(7) 멱집합

멱집합: 집합 A의 모든 부분집합들을 모아서 집합으로 만든것을 멱집합이라고 함.
예를들면, A = {1, 2} 인 경우 P(A) = { ∅, {1}, {2}, {1,2} } 이와 같은 멱집합이 만들어 질 수 있음.

멱집합은 위와같이 필연적으로 집합 안에 집합이 들어있는 구조로 만들어짐.
멱집합의 원소 수는 집합 S의 원소 수가 n이라면, 항상 2^n 개가 됨.

✅ 2. 집합연산

(1) 합집합

논리합(or, V) 과 합집합의 관계를 나타냄.

(2) 교집합

논리곱(and) 과 교집합의 관계를 나타냄.

(3) 차집합

차집합: A에는 있지만 B에는 없는 원소들의 집합을 의미한다.
A = {1,2,3} B = {2,3,4} 두 집합에서 차집합은 A - B = {1} 이 될 수 있음.

(4) 여집합

여집합: 전체 집합 기준으로 A 집합의 원소를 뺀 것을 의미한다. ( ~부정과 동일함 )
전체집합 U = {1,2,3,4,5} 에서 A 집합이 A = {1,2,3} 이라면, A의 여집합은 Ac = {4,5} 가 될 수 있음.

(5) 대칭차집합

대칭차집합: 두 집합에서 겹치는 원소를 아예 뺀 집합을 대칭차집합이라고 함. ( XOR 베타적 논리합과 동일함 )
A = {1,2,3} B = {3,4,5} 두 집합이 존재할 때, 겹치는 원소 3을 빼게 된다면, A - B = {1,2} B - A = {4,5} 가 될 수 있음.
이제 해당 집합을 합치게 되면, {1,2,4,5} 대칭차집합을 얻을 수 있음.

(6) 곱집합

곱집합: 두 집합의 모든 순서쌍의 집합을 곱집합 이라고 함.
A = {1,2} B = {a,b} 두 집합의 곱집합은 A * B = { (1,a),(1,b),(2,a),(2,b) } 가 될 수 있음.

(1) 합집합: A ∪ B = {1,2,3,4} => 모든 원소의 집합(or 연산)
(2) 교집합: A ∩ B = {2,3} => 겹치는 원소의 집합(and 연산)
(3) 차집합: A - B = 1 => A는 가지지만 B는 가지지 못하는 원소의 집합
(4) 여집합: Ac = {4,5} => 전체 집합에서 A가 가지지 못한 원소의 집합을 나타냄.

(5) 대칭차집합: A xor B = {1,4} => 두 집합에서 겹치는 수 1,3 을 뺀 나머지 집합은 {1,4}가 됨.

✅ 3. 집합의 대수법칙

(1) 집합 크기의 관한 성질

합집합의 크기: 집합 A, B를 합집합 할 때, 겹치는 교집합의 원소가 있을 경우 A와 B의 집합을 더한 뒤, A와 B의 교집합을 빼게 되면 합집합의 원소 개수를 알 수 있으며, 이것이 합집합의 크기임.
쉽게 말해, 집합 A(10), 집합B(5) 원소를 가지는 집합이 있을 때, A와 B 교집합 원소의 개수는(2)개라고 보면 겹치는 것을 제외한 합집합을 하게 된다면 10 + 5 - 2 = 13개의 합집합의 크기를 얻을 수 있음.

따름정리(합집합의 크기): 위의 합집합의 크기 공식이 결국 이미 증명된 정리이기 때문에 따름정리(이미 증명된 정리로부터 아주 쉽고 자연스럽게 유도되는 또 다른 정리)를 통해서 대수법칙을 얻을 수 있음.

서로소인 집합의 합집합의 크기: A와 B가 서로소인 경우 교집합이 공집합인 경우이기 때문에 즉, 겹치는게 없기 때문에 단순히 A + B 를 통해서 두 집합의 원소를 더해만 준다면 합집합의 크기를 얻을 수 있음. ( 기출 문제 인듯 )

(2) 포함관계 및 항등식

교집합에서의 포함관계: 집합 A, B의 교집합은 겹치는 원소의 집합이므로, 집합 A의 부분집합이 될 수 있음.
합집합에서의 포함관계: 집합 A, B의 합집합은 두 집합의 모든 원소를 포괄하는 집합이기 때문에, B는 집합 A, B 합집합의 부분집합이 될 수 있음. 부분집합의 기호 앞이 항상 부분집합이 되고, 뒤가 전체집합이됨.
이행성: 관계의 연결을 의미하며, 예를들면, A가 B에 포함되고, B가 C에 포함된다면 A는 C에도 포함이 된다는 논리임.

원소 논증: 부분집합 X는 전체집합 Y에 항상 포함이 되어있어야 성립이 되는데, 이것을 증명하고자 할 때 사용하는 방법이며, 집합 전체를 한꺼번에 증명하기 어려울 때 집합 안에 있는 임의의 원소(x)를 하나 뽑아서, 그 원소가 논리적으로 어디에 속하는지 추적하는 방식으로 보면 됨.

집합의 항등식(교환법칙): 합집합과 교집합의 교환법칙은 성립됨. ( A, B의 위치를 바꿔도 상관없다는 의미임. )
집합의 항등식(결합법칙): 결합법칙 또한 성립이 됨. ( 논리학과의 연결성이 있음. )

포함관계에 대한 동치: U가 전체집합이고, A ⊆ B ⊆ C 집합 상태로, A가 B에 완전 포함되고, B는 U에 완전 포함된 형태의 전체집합의 아래 1~7번은 논리적 동치에 해당할 수 있음.
(1) A는 B의 부분집합이기 때문에 동치임.
정리: 논리학과 집합론의 관계에 대해서 연결성을 넣을 수 있음을 알 수 있음.
기출문제일듯.

[알고리즘] 10강 - 그래프(3)

junbin2 — Mon, 4 May 2026 13:36:19 +0900

✅ 1. 벨만-포드 알고리즘

(1) 벨만-포드 알고리즘이란?

벨만-포드 알고리즘: 데이크스트라 알고리즘과 동일하게 단일 출발점으로 부터 모든 정점간의 최단 경로를 구하는 알고리즘임.
단, 데이크스트라 알고리즘은 음의 가중치를 갖는 간선이 존재하는 경우에는 처리가 불가능 했지만, 벨만-포드 알고리즘은 음의 가중치를 갖는 간선이 존재하는 경우에도 처리가 가능한 알고리즘임.
대신 조건은 음의 사이클이 없는 경우에 한해서 가능함.
즉, 데이크스트라 알고리즘의 경우 가장 짧은 간선 하나를 기준으로 그 끝에 있는 정점을 선택하며 퍼져나가는데 반해, 벨만-포드 알고리즘은 그래프에 존재하는 모든 간선을 매 라운드마다 훑으며 최단 거리를 업데이트하기 때문에 음수 가중치를 발견하더라도 다음 라운드에서 반드시 그 값을 반영하게 되는 원리임.
즉, 벨만 포드는 모든 경로의 경우의 수를 하나도 빠짐없이 검증하는 알고리즘으로 볼 수 있음.

(2) 벨만-포드 알고리즘 - 수행 과정

(3) 벨만-포드 알고리즘 - 로직

(1) 초기화: 모든 정점에 대해서 초기화 반복문을 수행함.
(2) 간선 완화 반복: 정점의 개수가 V개일 때, 총 V-1번 반복하며, 매 반복마다 그래프에 있는 모든 간선(E개) 하나하나 확인하며, 이 과정을 거치면 모든 정점까지의 최단 거리가 수학적으로 확정됨.

(4) 벨만-포드 알고리즘 - 예시(1)

정점(1) 의 부수된 간선의 정점(2, 3)의 최단 경로는 2(4), 3(2)가 되고, 1 -> 2 -> 4의 경우에는 정점(3)과 정점(4)는 각 2, 3의 가중치를 가지게 되어 최종적으로 최단 경로(4+2+3= 9)의 최단 경로를 얻을 수 있지만, 1 -> 2 -> 3 -> 4 의 경우에는 정점(3)과 정점(4)는 각 1, 2의 가중치를 가지기 때문에 최종적으로 4+1+2= 7의 최단 경로를 얻을 수 있음.
결과적으로 4+1+2 = 7 의 최단 경로가 더 짧기 때문에 해당 경로를 선택하는 원리임.
즉, 데이크스트라 알고리즘의 음수가 있을 경우에는 최단 경로를 구할 때 하나의 경로에서 각 경로마다 최적해를 구하면서 나아가는데 문제는 음수가 들어가게 되면, 최적해가 안나올 수 있다는 문제가 있기 때문에 벨만-포드는 단순하지만 강력하게 모든 정점의 경로에 해당하는 경우의 수를 파악하는 원리임. (DP 방식을 활용함) 동적 프로그래밍 방법
쉽게 말해, 출발 정점의 부수된 간선의 가중치의 최단 경로를 구하고, 부수된 정점들의 또 부수된 모든 간선들의 최단 경로를 구해보고 그 중에서 최적해를 구하고, 또 그 정점들의 부수된 간선의 최단 경로를 구해 최적해를 구해나가는 방식임.

(5) 벨만-포드 알고리즘 - 예시(2)

벨만-포드 알고리즘의 경우 출발 정점으로부터 간선 몇개를 사용하느냐에 따라서 경우의 수가 갈리며, 몇 개의 다리를 건너야 할지 미리 알 수 없기 때문에 순차적으로 간선을 늘리며 최단 경로를 구하는 방식임.

(6) 벨만-포드 알고리즘 - 성능과 특징

시간 복잡도 O(V * E): V - 1번의 루프(정점 수에 비례) 안에서 매번 모든 간선(E개)을 전수 조사하기 때문에 해당 시간 복잡도를 가질 수 있음. 즉, 벨만-포드는 모든 간선을 무식하게 다 훑는 과정 때문에 다익스트라보단 훨씬 느림.

음의 가중치를 갖는 간선이 있는 경우에는 데이크스트라 알고리즘 적용이 불가능하기 때문에, 벨만-포드 알고리즘을 적용 할 수 있지만, 음의 가중치를 갖는 간선이 없는 경우에는 성능면에서 데이크스트라 알고리즘이 뛰어나기 때문에 데이크스트라 알고리즘을 쓰는게 효율적임.

✅ 2. 플로이드 알고리즘

(1) 플로이드 알고리즘이란?

플로이드 알고리즘: 모든 쌍의 최단 경로를 구하는 알고리즘이다. ( 정확한 명칭은 플로이드 워셜 알고리즘임 )
쉽게 말해, 임의의 정점 두개가 한 쌍이 되며, 해당 정점간의 최단 경로를 구하는 알고리즘으로 볼 수 있음.
즉, 데이크스트라, 벨만 포드의 경우 단일 출발점으로부터 모든 정점간의 최단 경로였다면, 플로이드는 모든 정점으로부터 모든 정점까지의 최단 경로를 구하는 방식이며, 결과적으로 플로이드 알고리즘은 데이크스트라와 벨만포드가 구하는 출발점에서 모든정점의 최단 경로 또한 포함한다고 볼 수 있음. ( 확장판으로 보면 됨. )
조건: 경로의 길이가 음인 사이클이 존재하지 않아야 적용이 가능한 알고리즘임.
적용 기법: 동적 프로그래밍 방법이 적용된 알고리즘임.

(2) 플로이드 알고리즘 - 인접 행렬 표현

플로이드 알고리즘은 기본적으로 인접 행렬을 기반으로 동작하며, 그 결과물 또한 2차원 행렬 형태로 나타난다.
D^(k): D(인접 행렬)를 통해 k 단계별로 k 이하인 정점만을 경유하는 정점 i에서 j까지 최단 경로를 천천히 구하면서 k 의 단계를 늘려가며, 각 단계마다 점화식을 통해서 더 짧은 거리를 구한 뒤 갱신을 해주는 것임.
점화식: 이전 값으로 현재 값을 정의하는 모든 공식을 의미한다. ( 피보나치 수열, 등비/등차 수열 등 이런 이전 값을 통해 현재 값을 정의하는 모든 공식들을 포괄하는 용어임 )

알고리즘 점화식: 재귀 호출 구조에서 사용하는 식을 의미하며, 수학적 점화식과 구조가 동일하며, 이전 값으로 현재 값 정의와 동일하게 이전 호출로 현재 호출을 정의하는 같은 본질을 가지고 있음.
즉, 수학적 점화식이라는 큰 틀 안에서, T(n)에 "시간"이라는 의미를 부여한 것이 알고리즘 점화식임.

(3) 플로이드 알고리즘 - 예시(1)

초기화 과정: 모든 정점간의 연결을 인접행렬로 표현 및 초기화 진행
D(0): 중간 정점 없이, 직접 연결된 거리만 계산 ( 초기화 )

D(1): 정점 1번을 거쳐도 된다고 허용 및 해당 정점 1번을 경유 했을 때 더 짧아지는 경로가 있는지 체크
즉, (4,2) , (4,3) 만 정점 1을 거쳐가기 때문에 갱신이 가능함.
최소 값 갱신: 점화식을 활용해서 이전의 값과 비교 후 더 짧은 경로의 값으로 갱신을 해줌.

D(2): 정점 2번을 거쳐도 된다고 허용 및 이전 정점 1번 또한 거쳐도 됨. ( 경유 했을 때 더 짧아지는 경로 체크 )

D(0) : 중간 정점 없이, 직접 연결된 거리만
D(1) : 정점 1번을 거쳐도 된다고 허용
D(2) : 정점 1, 2번을 거쳐도 된다고 허용
D(k) : 정점 1~k번을 거쳐도 된다고 허용
D(|V|) : 모든 정점을 거쳐도 됨 → 최종 최단거리 완성
점화식 분석: d(k)ij = min( d(k-1)ij,  d(k-1)ik + d(k-1)kj )
↑                ↑
기존 거리      정점 k를 경유하는 경우의 거리

D(k) 단계에서 k를 점진적으로 늘리며, 해당 정점을 거쳐가도록 허용을 점진적으로 푸는 이유는, 이미 계산된 최단 거리를 재사용하기 위해서 단계를 나누는 것임. 즉, 사실상 경로의 조합이 기하급수적으로 많아져서 계산이 불가능해지기 때문에 효율을 위해서 점진적으로 늘리며, 정점을 거쳐가도 된다고 허용을 시켜주는 것임.

(4) 플로이드 알고리즘 - 예시(2)

D^(0): 모든 정점을 인접 행렬로 만드는 초기화 과정
D^(1): 1번 정점을 거치는 경우인 (4,2) , (4,3) 에 대한 거리값을 갱신

(5) 플로이드 알고리즘 - 성능과 특징

플로이드 알고리즘 시간 복잡도: O(n^3)

플로이드 알고리즘은 동적 프로그래밍 방법을 적용한 알고리즘임.
동적 프로그래밍 방법: 한 번 구한 답은 다시 구하지 않는다는 전략이며, 복잡하고 큰 문제를 한 번에 풀려고 하면 너무 어렵기 때문에, 이를 작은 하위 문제로 나눈 뒤, 그 결과를 저장해 두었다가 나중에 더 큰 문제를 풀 때 가져다 쓰는 방식임.
플로이드 알고리즘 동적 프로그래밍 방법인 이유: 큰 문제(1번부터 n번까지의 모든 정점간의 최단 거리 구하기)를 작은 문제(1번부터 k번까지만 경유지로 사용해서 최단 거리 구하기)를 통해서 해결하는 원리임.
데이크스트라 알고리즘으로 모든 쌍 최단 경로 구하기: 데이크스트라 알고리즘은 한 정점에서 모든 정점간의 최단 경로를 구하는 알고리즘인데, 모든 정점에 대한 최단 경로를 구하게 되면 결국 데이크스트라 알고리즘으로도 구할 수 있음 => O(V^3)
하지만, 플로이드 알고리즘이 모든 쌍을 구하는데 있어서 더 간단하기 때문에 더 빠르게 구할 수 있음.

✅ 3. 포드-풀커슨 알고리즘

(1) 네트워크 플로 문제란?

네트워크 플로 문제란?: “흐를 수 있는 양(flow)을 제한된 경로를 통해 어떻게 보내야 하는가”를 다루는 그래프 문제임.
네트워크 N: 네트워크 구성 요소로는 방향 그래프 G(V,E), s(시작점), t(도착점), c(간선의 용량) 으로 구성되어있음.
즉, 네트워크 플로 문제는 방향 그래프에서 각 간선(edge)에 용량(capacity)이 주어질 때, 시작점(source)에서 도착점(sink)까지 흐름(flow)을 제약 조건을 만족하며 보내는 문제로 보면 됨.
예를들면, 수도관, 네트워크, 인터넷 패킷 전송, 물류 배송 교통 흐름, 송전망 등을 그래프화 해서 네트워크 플로 문제를 대입해서 해결 할 수 있는 느낌임.
최대 유량 문제: 네트워크 플로 문제의 가장 대표적인 형태 중 하나로, 최대 유량 문제는 전체 네트워크에서 시작(Source)부터 도착점(Sink)까지 보낼 수 있는 흐름의 최대량을 구하는 문제임.
포드-풀커슨 알고리즘이 네트워크 플로의 최대 유량 문제에 대한 알고리즘임.
정리: 네트워크 플로는 흐름이 존재하는 네트워크 문제 전체를 다루는 큰 개념이고, 그 안에 최대 유량 문제 같은 세부 문제가 존재한다. 그리고 포드-풀커슨은 최대 유량 문제를 해결하는 대표 알고리즘이다.
또한, 단일 소스 - 단일 싱크 문제로, 모든 정점 쌍에 대한 유량을 한 번에 구하는 것이 아님. 단일 정점 쌍에 대한 유량임.

(2) 포드-풀커슨 알고리즘이란?

포드-풀커슨 알고리즘: 네트워크 플로 문제에서 최대 유량 문제에 대한 최초로 제시된 가장 기초적인 해결 방법의 알고리즘이며, 가장 기초적인 방법이기에 단순히 플로 값을 증가시킬 수 있는 모든 경우의 수를 탐색해서 적용을 하는 방식임.
단점: 종료가 보장되지 않기 때문에, 에드몬즈-카프 알고리즘으로 발전이 됨.
원리: 모든 간선의 플로를 0으로 둔 상태에서 시작, 증가 경로가 더 이상 존재하지 않을 때까지 반복적으로 경로를 찾아서 최대 플로 값을 구하는 원리임.

증가 경로: 소스(출발 정점)에서 싱크(도착 정점)까지 더 많은 플로를 보낼 수 있는 경로를 의미한다.
역방향 간선의 존재 이유: 해당 경로 말고 다른 경로로 보내는게 더 효율적이라고 판단이 되면, 이미 보낸 흐름을 취소 할 수 있도록 하기 위해서 역방향 간선이 존재하는 것임.

잔여 용량: 간선에서 추가로 플로를 증가시킬 수 있는 여유 용량을 의미한다.
쉽게 말해, a - b 간선의 용량이 10인데 5만큼 사용 중이라면, 잔여 용량은 5이다. ( 5만큼 남아있기 때문에 )

증가 경로의 여유량: 경로에 포함된 모든 간선의 잔여 용량 중 최소값을 의미하며, 이는 곧 해당 경로를 사용해서 증가시킬 수 있는 플로 값으로 볼 수 있음.

S -> A -> B -> T
S ──10──> A ──3──> B ──7──> T
- 잔여 용량: S -> A = 10, A -> B = 3, B -> T = 7
- 흐름이 결국 최소값인 A -(3)> B 간선에 의해서 제한됨.

쉽게 말해, 위 예시와 같이 경로의 흐름이 잔여 용량 중 최소값인 간선에 의해서 제한되기 때문에 결국 증가 경로에서 가장 좁은 간선이, 그 경로로 추가 가능한 최대 유량으로 볼 수 있음.

(3) 포드-풀커슨 알고리즘 - 과정

(4) 포드-풀커슨 알고리즘 - 예시(1)

초기화: 간선의 플로와 간선의 용량의 초기화를 진행함.
간선의 용량: 각 간선이 버틸 수 있는 최대 수치로 설정이 됨.
간선의 플로: 모든 간선의 현재 유량을 0으로 초기화하는데, 처음에는 아무것도 흐르지 않는 상태임을 나타냄.

증가 경로 s-3-2-t: 증가 경로 상에서 증가 경로 여유량의 간선(용량: 4)을 기준으로 증가 경로상의 모든 간선의 플로가 증가함 (4씩)
증가 경로 여유량: 증가 경로 상의 간선의 용량 - 간선의 용량이며, 간선의 용량을 다 못채운 값을 의미함.
잔여 용량: 증가 경로의 여유량이 곧 해당 간선의 증가 경로상의 여유량으로 볼 수 있음.

증가 경로 s-1-4-t: 증가 경로의 여유량의 간선(용량: 3)을 기준으로 증가 경로상의 모든 간선의 플로가 증가함 (3씩)

증가 경로 s-3-4-t: 증가 경로의 간선의 플로값이 올라간 상태이므로, 최대 용량을 할당 할 수 있는 부분인 s -> 3의 증가 용량 4 + 2 = 6
즉, 2만큼의 잔여 용량에 따라서 증가 경로의 모든 간선의 플로값들이 증가하게됨.

증가 경로 s-1-2-3-4-t: 증가 경로에서 4 -> t 의 간선의 플로값이 5/7 이었으며, 증가 경로의 여유량(잔여 용량)이 제일 작기 때문에 모든 증가 경로상의 간선의 플로값들을 +2 씩 증가 시키게 됨.
역방향 간선: 2 -> 3 부분은 역방향 간선이기 때문에, 2를 증가하는게 아닌 2만큼 간선의 플로값을 빼게 됨.

최대 플로: 소스(시작점) 에서 나가는 플로들의 합(6 + 6 = 12) 12가 최대 플로가 됨.
또한, 싱크(도착점) 으로 들어오는 플로들의 합(5 + 7 = 12) 12가 최대 플로가 됨.

최대 플로: 최대 유량으로도 부르며, 가중치가 있는 방향 그래프(네트워크)에서 소스(시작점)로부터 싱크(도착점)까지 동시에 보낼 수 있는 데이터나 자원의 최대 양을 의미함.
최대 플로 구하기: 소스(시작점) 에서 나가는 플로들의 합 또는 싱크(도착점)으로 들어오는 플로들의 합 이 두가지 경우 모두 최대 플로의 값으로 볼 수 있음. ( 즉, 소스에서 나가는 플로들의 합과 싱크로 들어오는 플로들의 합은 같음. )
최대 플로에서 의미하는 소스에서 나가거나 싱크로 들어오는 플로들은 인접한 정점 즉, 부수된 간선의 가중치 값이 기준임.

(5) 포드-풀커슨 알고리즘 - 예시(2)

최대 플로 자체는 동시에 보낼 수 있는 데이터나 자원의 최대 양을 의미하며, 예시(1) 과 동일하게 수행이 됨.

(6) 포드-풀커슨 알고리즘 - 성능과 특징

용량으로 무리수를 사용하는 경우: 알고리즘의 종료가 보장되지 못함. ( 즉, 정수로 사용 해야함 )
용량 M이 매우 큰 값이면 비효율적임.

증가 경로의 선택은 DFS 또는 BFS 적용을 해서 선택함.
포드-풀커슨 알고리즘은 기본적으로 DFS를 적용하여 증가 경로 선택을 함.
커트(cut): 소스에서 싱크로 가는 모든 길목을 차단하도록 정점들을 두 그룹으로 쪼개는 행위 자체를 의미함.
쉽게 말해, 포드 풀커슨 알고리즘 정확성 이런걸 증명하는데 많이 사용되는 개념임.

(7) 정리

벨만-포드 알고리즘: 음의 가중치를 갖는 간선이 존재해도 적용할 수 있는 단일 출발점 최단 경로 알고리즘
플로이드 알고리즘: 모든 정점 쌍 간의 최단 경로, 동적 프로그래밍 방법
포드-풀커슨 알고리즘: 네트워크 플로 문제에서 최대 유량을 구하는 문제

[운영체제] 12강 - 저장장치 및 파일관리

junbin2 — Thu, 30 Apr 2026 12:43:09 +0900

✅ 1. 저장장치의 종류

(1) 순차접근 저장장치

순차접근 저장장치: 데이터를 순차적으로 읽거나 쓸 수 있는 저장장치를 의미하며, 테이프 장치의 유형으로 볼 수 있음.
특징: 초기 접근시간이 굉장히 오래 걸리기 때문에 보통 대량의 데이터 백업용으로 사용이 됨.

(2) 직접접근 저장장치

직접접근 저장장치: 저장장치 내의 지정한 위치를 직접 찾아 데이터를 읽거나 쓸 수 있는 저장장치임.
현대에는 직접접근 저장장치를 주로 쓰며 보통 자기 디스크, 광디스크, SSD가 대표적임.

자기 디스크: 자성을 띤 디스크의 표면에 데이터를 쓰거나 읽는 방식의 저장장치 이며, 보통 하드디스크로 보면 됨.
헤드가 디스크의 표면을 읽고, 여러 플래터에는 트랙과 섹터가 있으며, 플래터가 여러개 이기 때문에 동시에 읽기 가능함.

광디스크: 디스크 표면에 레이저를 쏘고 반사되는 빛의 차이를 이용해 데이터를 읽거나 쓰는 방식의 저장장치임.
나선형인 하나의 트랙으로 구성이 되어있음. 즉, 트랙이 하나임.

SSD: 읽고 쓰기가 가능하면서 전력공급이 없어도 데이터가 지워지지 않는 메모리 저장장치이다.
자기 디스크보다 속도가 빠르고 전력 소모가 적은 장점이 있지만, 용량 대비 가격이 비싸며 수명이 짧은 단점이 있음.

✅ 2. 디스크 스케줄링 알고리즘

(1) 디스크 스케줄링

디스크 스케줄링: 디스크 접근 요구를 효율적으로 처리하는 순서를 결정하는 작업을 의미함.
쉽게 말해, 여러 프로세스가 디스크 읽기, 쓰기에 대한 접근 요구가 올 때 이것은 디스크 입출력(I/O) 요청으로 쌓이게 되는데, 디스크의 헤드의 위치나 이러한 상황에 따라서 디스크 입출력(I/O) 요청을 어떤 순서로 처리해야 움직임을 최소화하고 효율을 높일 수 있지에 대한 결정을 하기 위한 과정을 디스크 스케줄링이라함.

(2) 디스크 접근 요구 처리 시간

디스크 접근 요구 처리 시간: 탐구시간 + 회전지연시간 + 전송시간에 대한 시간을 통틀어서 의미함.
탐구시간: 디스크의 데이터가 저장된 특정 트랙(원형 경로) 위로 암에 달린 헤드를 이동시키는데 걸리는 시간을 의미함.
회전지연시간: 헤드가 원하는 트랙에 도착한 후, 디스크 판이 회전하여 실제 데이터가 있는 섹터(지점)가 헤드 밑으로 올 때까지 기다리는 시간을 의미함.
전송시간: 헤드가 데이터가 있는 위치에 도달한 후, 실제로 데이터를 읽거나 써서 메인 메모리로 전송하는 데 걸리는 시간을 의미함.
정리하면, (1) 탐구시간: 헤드를 이동시켜 트랙에 맞추고, (2) 회전지연시간: 디스크 판이 회전하여 실제 데이터가 있는 섹터(지점)으로 이동 (3) 전송시간: 실제 데이터를 읽거나 쓰는 작업을 진행 한 뒤, 메인 메모리로 전송
또한, 전송시간의 경우 데이터가 저장되어 있는 곳이라 변하지 않지만, 탐구 시간 및 회전지연시간은 최적화가 가능하기 때문에, 스케줄링 형태가 탐구시간과 회전지연시간에 거의 맞춰져 있음. ( 그래도 대부분은 탐구시간 최적화에 맞춰져 있음. )

(3) 디스크 스케줄링 알고리즘

디스크 스케줄링 알고리즘의 종류는 위와 같이 대표적으로 7개가 존재함.
FCFS ~ C-LOOK: 위에서 6번째 까지는 탐구시간 최적화를 다루는 스케줄링 기법
SLTF: 회전지연시간 최적화를 다루는 스케줄링 기법

(4) 디스크 스케줄링 알고리즘 - FCFS 스케줄링

FSCS 스케줄링: 먼저 도착한 디스크 I/O 접근 요구가 먼저 서비스를 받는 방법을 의미함.
쉽게 말해, 디스크 큐에 들어온 순서대로 처리가 되는데, 각 요청마다 헤드를 옮기는 탐구 시간이 들어감.

장점: 큐를 활용해 단순하게 구현이 가능하며, 접근 요구의 도착순서대로 실행이되므로 공평함.
단점: 도착순서에 따라 총탐구시간이 커질 수 있음. 쉽게 말해, 요청 순서가 100번 -> 11번 -> 190번 이런식이면, 헤드가 멀리 이동해야 하는 헤드의 총 이동 거리가 길어짐.
결국 시스템의 전체 응답 속도 저하로 직결이 될 수 있으며, 이것은 결국 디스크 부하가 높을수록 응답시간이 길어질 수 있음.

(5) 디스크 스케줄링 알고리즘 - SSTF 스케줄링

SSTF 스케줄링: 탐구시간이 가장 짧은 접근 요구를 먼저 처리하는 스케줄링 방법임.
쉽게 말해, 현재 헤드의 위치에서 가장 짧은 위치에 있는 트랙에 접근 요구를 먼저 처리하는 방법으로 볼 수 있음.

장점: FCFS 스케줄링보다 처리량, 평균응답시간이 개선되었으며, 일괄처리 운영체제에 적합함.
이유는, 기존 FCFS 는 큐에 들어온 순서대로 처리하게 되다보니, 거리가 먼 탐구시간을 가지는 접근 요구가 있을 경우 왔다 갔다 하는데, 탐구시간을 오래 쓰기 때문에 평균응답시간이 늦어져 결국 처리량이 낮아지는 단점을 SSTF 스케줄링은 가장 짧은 접근 요구를 먼저 처리함으로써, 평균응답시간 개선과 동시에 처리량을 높일 수 있음.
단점: 새로운 I/O 디스크 요구가 지속적으로 들어오는 시분할 운영체제의 경우 양 끝 쪽에 위치한 트랙에 대한 접근(탐구)을 할 수 없는 상황이 발생해 결과적으로 기아상태가 발생할 수 있음.
또한, 이 경우에 추가적으로 양 끝 쪽에 위치한 트랙에 대한 접근의 어려움으로 응답시간 편차가 클 수 있는 단점이 있음.
즉, 결과적으로 **시분할 운영체제에는 매우 부적합한 방법**으로 볼 수 있음.

(6) 디스크 스케줄링 알고리즘 - SCAN 스케줄링

SCAN 스케줄링: 양 끝 트랙 사이를 왕복하며 진행방향의 가장 가까운 접근 요구를 먼저 처리하는 방법이다.
쉽게 말해, 헤드를 한 쪽 방향으로 트랙을 이동하면서 끝 트랙에 도달하면 반대편 끝 트랙으로 쭉 이동하면서 접근 요구를 모두 처리하는 방식임. ( 양쪽 끝으로 왔다 갔다 하면서 접근 요구 모두 처리하는 방식 )

장점: SSTF 스케줄링의 양 끝의 접근 요구에 대한 응답시간 편차를 어느정도 개선 할 수 있음.
즉, SSTF 는 양 끝의 접근 요구를 아예 처리 못할수도 있지만, 해당 SCAN 은 무조건 양 끝까지는 가서 처리를 함.
단점1: 새로운 요구가 들어왔을 때, 헤드 진행방향의 바로 앞이냐 뒤냐에 따라 응답시간 편차가 발생 할 수 있음.
단점2: 양 끝 트랙은 헤드가 한 번 왕복할 때 한 번의 서비스 기회만 있을 수 있음. ( 양 끝 트랙은 손해 볼 수 있음. )

(7) 디스크 스케줄링 알고리즘 - C-SCAN 스케줄링

C-SCAN 스케줄링: 한쪽 방향으로만 진행하며, 진행방향의 가장 가까운 접근 요구를 먼저 처리하는 방법임.
쉽게 말해, 한쪽 방향으로 진행방향에 있는 모든 접근 요구를 처리한 뒤, 왕복이 아닌 다시 반대편 끝으로 돌아간 뒤 처리하는 방식으로 한쪽 방향으로만 진행하는 방식으로 볼 수 있음.
즉, 한쪽 방향으로 헤드가 쭉 간뒤 끝에 도달하고 헤드가 다시 돌아올 땐 처리를 하지 않고 처음으로 돌아간 뒤 다시 처리하며 쭉 가는 방식임.

장점: 양 끝 트랙에 대한 접근 요구의 차별을 제거함으로써, 응답시간의 편차가 매우 작음.
단점: 반대편 끝으로 다시 돌아오는 과정에서 어떠한 요청도 처리하지 않으면서 단순히 위치만 이동하기 때문에 전체적인 헤드의 이동 거리가 길어질 수 있음. 즉, 총탐구시간이 늘어날 수 있음.

(8) 디스크 스케줄링 알고리즘 - LOOK 스케줄링

LOOK 스케줄링: SCAN 스케줄링과 동일하게 진행방향으로 처리가 되지만, 앞에 더 이상 접근 요구가 없으면 방향을 바꾸는 방법의 디스크 스케줄링 방법임.
쉽게 말해, 진행방향으로 처리가 되다가 앞에 접근 요구가 더 이상 없다면 반대 방향으로 방향을 바꾸며 처리함.
대신에 SCAN 과 동일하게 왕복으로 진행을 하는 방식임.

(9) 디스크 스케줄링 알고리즘 - C-LOOK 스케줄링

C-LOOK 스케줄링: C-SCAN 과 동일하게 한 방향으로만 진행을 하되, LOOK 스케줄링의 특징인 더 이상 접근 요구가 없다면 바로 처음으로 돌아가서 진행을 하는 방식의 스케줄링 방법임.

(10) 디스크 스케줄링 알고리즘 - SLTF 스케줄링

앞선 내용은 탐구 시간을 줄이기 위한 방식이었다면, SLTF 스케줄링은 회전지연시간을 최소한으로 줄이기 위한 방법임.

SLTF 스케줄링: 동일한 실린더에는 여러 섹터가 존재하며, 해당 섹터 내에서 회전지연시간이 가장 짧은 것을 먼저 처리하는 방법의 디스크 스케줄링 방식임.
쉽게 말해, 회전방향은 고정되어 있으며, SLTF 스케줄링을 안쓴다면 헤드가 1번 -> 2번 -> 3번 순으로 접근 요구가 있었다면, 1번을 처리하기 위해 3번, 2번을 무시하고 넘어가고 1번 읽고, 다음 2번을 읽기 위해 3번을 무시하고 2번을 읽어야 하며, 마지막으로 3번을 읽기 위해 1번을 무시하고 3번을 읽는 방식으로 해야함.
하지만 SLTF 스케줄링을 이용하면 1번 -> 2번 -> 3번 순으로 접근 요구가 있다고 해도, 헤드와 가장 가까운 3번 처리, 2번 처리, 1번 처리를 진행함으로써 한 번의 회전으로 모두 처리가 가능한 것임.
즉, 회전지연시간을 최적화 할 수 있는 스케줄링 알고리즘으로 볼 수 있음.

✅ 3. 파일 관리

(1) 파일 관리자

파일 관리자: 파일을 생성, 삭제, 수정 등의 파일에 접근하는 것을 제어함.
또한, 파일에 의해 사용되는 자원은 디스크에 저장이 되는데, 이러한 디스크의 자원을 관리해줌.

(2) 파일 관리자의 요소

(3) 파일 관리자의 기능

(4) 파일 구조와 접근방식

파일 구조: 파일을 구성하는 레코드들이 보조기억장치에 배치되는 방식을 파일 구조라고함.
파일에 접근하는 방식에 따라서 대표적으로 순차 파일, 인덱스된 순차 파일, 직접 파일로 나뉨.
순차 파일: 보조기억장치에 레코드가 순차적으로 저장되어 있는 파일을 의미함.

인덱스된 순차 파일: 순차 파일과 동일하게 순차적으로 저장이 되어있지만, 인덱스를 활용해 직접접근이 가능한 파일 구조임.

직접 파일: 논리적인 키를 통해 물리적 주소에 직접 접근하는 방식의 파일 구조임.

(5) 디스크 공간 할당

연속 할당 기법: 보조기억장치의 연속된 가용공간에 파일 저장공간을 할당하는 기법임.
단, 필요한 공간의 크기를 미리 정해야 할당이 가능함.
장점: 순차 접근에 대한 액세스가 효율적이며, 디렉터리 구현이 단순(순차로 단순히 접근하면 되어서)함.
단점: 외부 단편화가 발생 할 수 있으며, 파일 크기 확장에 대한 대응이 비효율적임.

불연속 할당 기법: 섹터 또는 블록 단위로 공간을 여기저기에 할당해 포인터를 이용해 블록들을 연결하는 방식임.
장점: 단편화 문제 해결, 파일 확장 문제 해결
단점: 파일 공간 분산으로 접근에 대해서 성능이 저하 될 수 있으며, 포인터 관리를 위한 연산 및 공간 소비에 대한 단점 존재.
** 하지만 현대에는 불연속 할당 기법으로 구현이 되어있음. **

[운영체제] 11강 - 장치관리

junbin2 — Sat, 25 Apr 2026 23:58:33 +0900

✅ 1. 장치의 개념

(1) 컴퓨터 시스템의 구성

기존의 내용들은 모두 CPU, 메모리 장치로써 프로세스 실행에 필수적인 장치들을 다룸.
해당 파트에서 배우는 내용은 프로세스 실행에 필수적인 CPU, 메모리 외에 나머지 장치들에 대한 내용임.

(2) 입출력장치 - 구분

입출력 장치는 크게 전용장치, 공용장치, 가상장치 세 가지 범주로 나뉨.
구분 기준: 장치의 기능적 특징과 장치관리자의 관리 방법에 따라 구분을 함.

전용장치: 한 번에 하나의 프로세스에만 할당이 가능한 장치를 의미한다.
예를들면, 프린터의 경우 여러 프로세스가 하나의 프린터에 프린팅을 하게 된다면, 겹치게 되어 원하는 프린팅의 결과를 얻을 수 없기 때문에 이러한 장치의 기능적 특징으로 인해 프린터는 전용장치로 구분 할 수 있음.
전용장치 단점: 하나의 프로세스에만 할당이 가능하기에 다른 프로세스의 대기시간이 길어질 수 있음.

공용장치: 여러 프로세스에 동시에 할당이 가능한 장치를 의미한다.
예를들면, 디스크와 같이 빠르게 데이터를 삽입 또는 읽기가 가능하기 때문에 동시에 할당이 가능한 공용장치임.
스케줄링 기법 필요: 대신 여러 프로세스가 동시에 사용을 할 수 있기 때문에 어떤 프로세스에게 어떤 순서로 할당을 해줄 것인지에 대한 스케줄링이 필요함. ( 복잡성이 증가 할 가능성이 있음. )

가상장치: 전용장치를 공용장치처럼 보이게 함으로써, 여러 프로세스를 동시에 할당 하는것처럼 보이게 해주는 장치임.
예를들면, 디스크와 같은 공용장치를 가운데에 두고, 프로세스 A, B가 프린터를 한다고 가정하면, 두 개의 프린팅 정보를 디스크에 저장을 해두고, A와 B는 이미 프린터를 했다고 착각하게 만들어 다음 작업을 수행하게 한 뒤, 해당 프린터 요청은 디스크로부터 하나씩 프린터기에 프린팅을 하는 방식임.
가상장치는 스풀링, 플로터 기술을 활용해서 구현함.

✅ 2. 장치의 구성

장치의 구성은 크게 논리적 구성, 물리적 구성으로 나눌 수 있음.
논리적 구성: 운영체제가 장치를 제어하는 원리를 쉽게 설명하기 위해 복잡한 하드웨어의 디테일을 걷어내고 개념적으로 모델링한 것을 의미한다. 쉽게 말해, 장치 드라이버를 통해서 장치제어기에 요청을 보내서 처리가 되는 이러한 단계를 개념적으로 설명하는 것이며, 각각의 역할을 논리적으로 구분한 느낌임.
물리적 구성: 실제 하드웨어적 매커니즘으로, 운영체제가 장치를 제어하기 위해서 내부적으로 어떤식으로 동작하는가에 대한 물리적 설명으로 볼 수 있으며, 물리적 동작에 대해서 각각의 역할을 물리적으로 구분한 것임.

(1) 논리적 구성

장치제어기: 장치 하드웨어 내부에 있으며, 장치를 직접적으로 다루는 전자장치이다.
(1) 장치에서 발생하는 각종 데이터를 전자신호로 변환 후 운영체제로 보냄.
(2) 운영체제가 요청하는 명령을 받아 장치를 구동시키는 역할
(3) 운영체제가 보내는 출력을 장치에 맞게 변환해서 출력을 해줌.

장치 드라이버: 하드웨어 장치는 종류가 다양하기 때문에 장치를 다룰 수 있는 장치 드라이버 소프트웨어를 장치 회사에서 제공함으로써, 운영체제가 해당 드라이버를 통해서 장치를 다룰 수 있도록 해주는 것이 장치 드라이버임.
즉, 장치 드라이버는 소프트웨어이며, 장치들마다 종류가 다르기 때문에 각각 다룰 수 있도록 드라이버를 제공함.
정리: 논리적 구성 -> 논리적으로 장치 드라이버, 장치제어기, 장치로 구성이 될 수 있음.

(2) 물리적 구성

물리적 구성: 논리적 구성에서 실제로 물리적으로 어떻게 장치를 제어하는지에 대한 구성으로 보면 됨.

CPU의 장치 사용법(CPU 관점): 장치제어기의 레지스터를 활용해 장치의 상태를 확인하거나 장치에 명령을 내림.
쉽게말해, 각각의 장치마다 장치 레지스터가 존재하며, 해당 레지스터의 값을 통해서 상태 및 명령을 내리는 원리임.
예를들면, 레지스터가 0이면 장치는 쉬고 있다고 판단을 할 수 있어, CPU가 명령을 내릴 수 있는 느낌으로 보면 됨.

CPU는 아주 빠른 연산장치이고, 하드웨어 장치는 상대적으로 많이 느리기 때문에 1:1로 장치를 제어하고 데이터를 주고 받기에는 매우 비효율적이기 때문에 추가적으로 메모리 사상 입출력 방식을 사용함.
메모리 사상 입출력: 메모리의 특정 영역을 장치제어기의 레지스터와 대응을 시켜두며, 이를 통해 CPU가 메모리를 읽고 쓰는 것으로 장치를 사용 할 수 있음.
내부 동작: 메모리 특정 부분에 장치제어기의 레지스터와 대응된 부분을 CPU가 읽어 상태를 확인한 뒤, CPU가 장치제어기에 요청을 보내게 되고, 이후에 결과값을 CPU가 받는게 아닌 바로 메모리에 저장을 한 뒤, 인터럽트를 통해 CPU에 저장이 완료됨을 알리는 원리로 동작을 함.

✅ 3. 입출력 처리 유형

앞서 본것과 같이 하드웨어 관점에서 물리적, 논리적 관점이 아닌 운영체제 관점에서 입출력 처리에 대한 내용임.
운영체제 관점에서 프로세스가 진행하며 입출력이 발생하는 경우 입출력을 처리하는 방법으로 크게 3가지로 나눌 수 있음.
프로그램 방법, 인터럽트 방법, DMA 방법

(1) 프로그램 방법

프로그램 방법: CPU만 활용해 폴링을 이용하여 입출력을 처리하는 방법임.
폴링(polling): CPU가 해당하는 장치가 쓸 수 있는 상태인지 계속해서 체크하는 행위를 의미함.
정리하면, CPU가 입출력장치의 상태를 지속적으로 확인하며 CPU가 원하는 상태가 될 때까지 기다리는 방식임.
CPU 낭비: CPU는 하드웨어 장치보다 상대적으로 매우 빠르기 때문에 CPU가 대기하는 시간이 길어질 수 있어 비효율적임.

(2) 인터럽트 방법

인터럽트 방법: 인터럽트를 이용해 입출력을 처리하는 방법을 의미함.
인터럽트(interrupt): CPU가 프로그램을 실행하고 있을 때, 입출력 및 하드웨어의 사용이 종료가 되는 등의 예외 상황이 발생해 이것을 CPU에게 알려주는 신호를 의미한다.
정리: 인터럽트 방법은 특정 프로세스가 장치를 사용 할 때, 해당 프로세스는 잠시 대기 상태로 들어가게 되며, 장치의 사용이 종료가 되면 장치는 인터럽트 제어기에 신호를 보내게 되고, 인터럽트 제어기는 CPU 에게 인터럽트 신호를 보내게 된다.
이후, CPU는 해당 신호를 받고 다른 프로세스가 해당 장치를 이용하기를 원하면 장치를 사용할 수 있도록 하는 원리임.
장점: 프로세스를 대기상태로 보내고 인터럽트가 발생할 때까지 CPU는 다른 프로세스를 처리할 수 있음.
또한, 앞서본 프로그램 방법은 CPU가 입출력장치를 계속해서 확인하는 폴링 작업을 한것과 다르게 장치 자체가 자신의 상태를 인터럽트로 알려줌으로써 프로그램 방법과 다르게 인터럽트 방법은 CPU의 낭비가 없음.

(1) 입출력 장치가 가용한 상태임을 인터럽트 제어기에 신호 발송
(2) 인터럽트 제어기는 CPU에 인터럽트 신호 발송
(3) CPU는 현재 실행 중이던 명령을 반드시 마치고 이후에 해당 프로세스를 대기 상태로 보내고 즉시 인터럽트에 응답을 하는데, 이때의 응답은 어떤 장치의 인터럽트인지 인터럽트 제어기에 다시 물어보는 것을 의미함.
(4) 응답을 받은 인터럽트 제어기는 장치에 대한 구체적인 정보를 CPU에게 전달을 해주게 됨.
(5) 구체적인 정보를 통해서 CPU는 현재 상태 보관 후 장치 사용을 원하던 그 다음 프로세스 입출력 처리를 진행함.
인터럽트 방법 단점: 장치 사용에 대한 인터럽트 신호가 매번 위와 같이 일어날 때, 신호가 감당할 수 없을 정도로 쏟아지게 된다면, 정작 실제 사용자 프로그램은 단 한 줄도 실행하지 못하고, 인터럽트만 하는 상황이 발생 할 수 있음.
즉, 하나의 프로세스가 하나의 장치를 짧게 여러번 사용 할 때 장치 사용이 끝날 때마다 CPU가 쉬지 않고 인터럽트를 처리해야 하는 문제가 있음.
이러한 인터럽트의 방법의 문제를 처리하기 위해 DMA 방식이 등장했으며, 해당 DMA 장치를 통해서 CPU의 자유 시간 확보를 해 효율성을 올릴 수 있음.

(3) DMA 방법

DMA 방법: DMA 제어기를 이용하여 CPU를 통하지 않고 메모리에 직접 접근하여 데이터를 전송하는 방법을 의미함.

(1) CPU는 입출력에 필요한 정보(입출력 데이터에 대한 메모리 위치, 사용할 장치 등의 정보)를 DMA 제어기에 쭉 넘김.
(2) DMA 제어기는 소스(데이터가 있는 메모리 위치)에서 목적지(장치 위치)로 데이터를 보내도록 장치제어기에 요청을 하고, 이를 CPU가 지시한 양만큼 반복을 하게 됨.
(3) 이후, 장치와 메모리 사이의 데이터 운반을 DMA 제어기가 하고, 모두 끝 났을 때 DMA 제어기는 인터럽트 제어기에 신호를 보내게 됨.
(4) 인터럽트 제어기는 CPU에 인터럽트 신호를 보냄.
장점: DMA 에 할당된 양만큼 메모리에 출력을 진행하는 동안에는 CPU는 다른일을 할 수 있음.

사이클 스틸링: DMA 방식에서 CPU와 DMA 제어기가 동시에 메모리 액세스를 시도 할 때, DMA 제어기에 우선권을 주는 방식의 기술로 볼 수 있음.
즉, DMA 방법에서 버스를 사용하는 방식은 사이클 스틸링 외에도 여러개가 있음.

✅ 4. 입출력 관리

입출력 처리 유형: 어떻게 데이터를 주고받는가에 대한 하드웨어적인 방법을 다룬 것임.
입출력 관리: 운영체제가 효율적으로 입출력 작업을 조정하고 최적화하는 고수준의 전략을 다룸.
즉, 입출력 처리 유형의 경우는 실제로 데이터를 주고받는 행위에 가깝고, 입출력 관리는 그 입출력 처리 유형을 어떻게 더 잘할 수 있는지에 대한 시스템 차원의 계획으로 볼 수 있음.
또한, 입출력 장치 자체의 특징(빠르기, 종류 등)과는 별개로, 데이터를 주고받는 과정에 대한 효율을 높이는데 집중을 하며, 방법으로는 대표적으로 버퍼링, 스풀링 방식이 존재함.

(1) 버퍼링

버퍼링: CPU의 데이터 처리 속도와 I/O 장치의 데이터 전송 속도 차이로 인한 문제를 해결하기 위해 메모리의 일부를 일시적인 데이터 저장 장소인 버퍼로 이용하는 방법을 의미한다.
단일 버퍼링: 버퍼가 하나만 존재하는 경우로써, 저장과 처리를 동시에 할 수 없어 비효율적인 특징이 있음.

이중 버퍼링: 버퍼 하나 자체가 저장과 처리를 동시에 할 수 없지만, 이중 버퍼링의 경우 두 개의 버퍼를 사용하여 하나가 채워지는(저장) 동안 다른 하나를 처리하는 방식임. ( 단일 버퍼링 보다는 효율이 좋음 )
순환 버퍼링: 여러 개의 버퍼를 순환적으로 사용하는 방식 (순환 버퍼링 안에 이중 버퍼링 포함 관계로 보면 됨. 개수만 늘어남)
버퍼링은 메모리를 저장 장치로 이용하는 방식

(2) 스풀링

스풀링: 프로세스와 입출력장치 사이의 데이터 전송을 자기 디스크와 같은 고속장치를 통하도록 하는 방식임.
예를들면, 프린터 100페이지 문서와 같이 많은 양을 인쇄할 때, 해당 스풀링은 하드 디스크와 같은 공간에 문서를 임시 저장한 뒤, 하드 디스크에서 저장된 문서를 프린터 속도에 맞게 천천히 보내주는 역할을 함.
즉, 하드디스크에서 입출력 장치로 명령, 데이터 전송의 역할은 DMA를 활용해서 이뤄지게 되므로, CPU는 입출력 처리를 하지 않고 다른 작업을 할 수 있음.

(3) 정리

버퍼링: 메모리를 프로세스와 입출력 장치 사이의 데이터 전송 저장 장치로 이용하는 방식
스풀링: 자기디스크를 프로세스와 입출력 장치 사이의 데이터 전송 저장 장치로 이용하는 방식
프로그램/인터럽트/DMA 방식이 데이터를 옮기는 '하드웨어적 전송 기술'이라면, 버퍼링과 스풀링은 그 데이터를 효율적으로 관리하기 위한 '소프트웨어적 운영 기법'임